Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala que um engenheiro quer fazer uma peça metálica em forma de arco de circunferência com comprimento externo de 8 cm. Essa peça vai ser fixada em uma base que tem 6 cm de comprimento. A ideia é encontrar a altura
dessa peça para ver se ela cabe na máquina. A matéria que vamos usar aqui envolve geometria de círculos, especialmente as relações entre o comprimento do arco, o comprimento da corda (a base) e a altura do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as partes do arco de circunferência:
- Comprimento do arco (
): é o comprimento da curva, que aqui é 8 cm. - Comprimento da corda (
): é a base do arco, que é 6 cm. - Altura (
): é a distância máxima entre a corda e o ponto mais alto do arco, que queremos encontrar.
Passo 3
Sabemos que o comprimento do arco está relacionado ao raio (
) do círculo e ao ângulo central (
) em radianos pela fórmula:
Além disso, a corda está relacionada ao raio e ao ângulo central pela fórmula:
E a altura
está relacionada ao raio e ao ângulo central pela fórmula:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar uma equação que relacione
com os valores conhecidos
cm e
cm. Podemos usar as duas primeiras fórmulas para eliminar o raio
e obter uma relação direta que envolva
.
Passo 5
Dividindo a primeira fórmula pela segunda para eliminar
, temos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, usando a terceira fórmula para
:
Mas precisamos expressar
em termos de
e
:
Substituindo na equação de
:
Resposta
O modelo matemático que relaciona a altura
com o comprimento do arco e da base é:
onde
está relacionada pela equação:
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Verifique se a função
é solução da equação diferencial
.
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Determine o valor da soma
Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma .
Calcule o valor da soma