Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que um engenheiro quer fazer uma peça metálica em forma de arco de circunferência com comprimento externo de 8 cm. Essa peça vai ser fixada em uma base que tem 6 cm de comprimento. A ideia é encontrar a altura dessa peça para ver se ela cabe na máquina. A matéria que vamos usar aqui envolve geometria de círculos, especialmente as relações entre o comprimento do arco, o comprimento da corda (a base) e a altura do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as partes do arco de circunferência:
  • Comprimento do arco ( ): é o comprimento da curva, que aqui é 8 cm.
  • Comprimento da corda ( ): é a base do arco, que é 6 cm.
  • Altura ( ): é a distância máxima entre a corda e o ponto mais alto do arco, que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos que o comprimento do arco está relacionado ao raio ( ) do círculo e ao ângulo central ( ) em radianos pela fórmula:
Além disso, a corda está relacionada ao raio e ao ângulo central pela fórmula:
E a altura está relacionada ao raio e ao ângulo central pela fórmula:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar uma equação que relacione com os valores conhecidos cm e cm. Podemos usar as duas primeiras fórmulas para eliminar o raio e obter uma relação direta que envolva .

Passo 5

Dividindo a primeira fórmula pela segunda para eliminar , temos:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, usando a terceira fórmula para :
Mas precisamos expressar em termos de e :
Substituindo na equação de :

Resposta

O modelo matemático que relaciona a altura com o comprimento do arco e da base é:
onde está relacionada pela equação:

Exercícios relacionados

Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Verifique se a função é solução da equação diferencial .
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma .