Verifique se a função y = 3/5 e^(t / 3) + 2/5 e^(t / 2) é solução da equação diferencial y' + y/2 = e^(t/3)/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função resolve a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e depois substituir tudo na equação para ver se ela fica verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de , que é . A função é composta por duas exponenciais, então vamos derivar cada uma delas separadamente. Lembrando que a derivada de em relação a é .
Derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos somar com , conforme a equação diferencial:
Fazendo as contas:
Somando os termos semelhantes:

Passo 4

A equação diferencial original nos diz que deve ser igual a . Vamos comparar o que encontramos:
Comparando com o lado direito da equação:
Vemos que tem um termo extra que não está presente no lado direito.

Resposta

Não, a função não é uma solução da equação diferencial dada.

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