Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma sumn=0^+infty 4(n+7)(n+6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor da soma infinita . Isso envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples e depois somar os termos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 4(n+7)(n+6) = An+6 + Bn+7 usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 4 = A(n+7) + B(n+6) e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para descobrir 4 = A(-6+7) + B(-6+6) Rightarrow 4 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 4 e 4 = A(-7+7) + B(-7+6) Rightarrow 4 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -4 , podemos escolher valores que simplifiquem a equação. Vamos escolher :
Agora, escolhemos :

Passo 5

Com os valores de 4(n+7)(n+6) = 4n+6 - 4n+7 e encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Agora, vamos substituir isso na soma original:
sumn=0^+infty 4(n+7)(n+6) = sumn=0^+infty ( 4n+6 - 4n+7 )

Passo 7

Observe que essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
( 46 - 47 ) + ( 47 - 48 ) + ( 48 - 49 ) + dots

Passo 8

Perceba que cancela com , cancela com , e assim por diante. O único termo que não cancela é o primeiro .

Passo 9

Como estamos somando infinitos termos, o termo final 46 = 23 tende a zero quando vai para o infinito. Assim, a soma total da série é apenas:

Resposta

O valor da soma é .

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