Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor da soma infinita . Isso envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples e depois somar os termos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para descobrir e , podemos escolher valores que simplifiquem a equação. Vamos escolher :
Agora, escolhemos :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Agora, vamos substituir isso na soma original:

Passo 7

Observe que essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:

Passo 8

Perceba que cancela com , cancela com , e assim por diante. O único termo que não cancela é o primeiro .

Passo 9

Como estamos somando infinitos termos, o termo final tende a zero quando vai para o infinito. Assim, a soma total da série é apenas:

Resposta

O valor da soma é .

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Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Justifique sua resposta em cada item:
Calcule o valor da soma .
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .