Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma
.
Determine o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor da soma infinita
. Isso envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração
em partes mais simples e depois somar os termos resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para descobrir
e
, podemos escolher valores que simplifiquem a equação. Vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Agora, vamos substituir isso na soma original:
Passo 7
Observe que essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
Passo 8
Perceba que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. O único termo que não cancela é o primeiro
.
Passo 9
Como estamos somando infinitos termos, o termo final
tende a zero quando
vai para o infinito. Assim, a soma total da série é apenas:
Resposta
O valor da soma
é
.