Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo: y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que serve para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos identificar a forma da parte não homogênea, que nesse caso é , e escolher uma suposição adequada para a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o método dos coeficientes indeterminados funciona bem quando a parte não homogênea é uma função que já conhecemos, como exponenciais, senos, cossenos ou polinômios. Aqui, temos uma exponencial , então vamos supor que a solução particular tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar para substituir na equação original. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo para :

Passo 6

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução particular é .

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