Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que serve para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos identificar a forma da parte não homogênea, que nesse caso é
, e escolher uma suposição adequada para a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o método dos coeficientes indeterminados funciona bem quando a parte não homogênea é uma função que já conhecemos, como exponenciais, senos, cossenos ou polinômios. Aqui, temos uma exponencial
, então vamos supor que a solução particular tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para substituir na equação original. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo para
:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular é
.