Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que serve para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos identificar a forma da parte não homogênea, que nesse caso é , e escolher uma suposição adequada para a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o método dos coeficientes indeterminados funciona bem quando a parte não homogênea é uma função que já conhecemos, como exponenciais, senos, cossenos ou polinômios. Aqui, temos uma exponencial , então vamos supor que a solução particular tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar para substituir na equação original. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo para :

Passo 6

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução particular é .

Exercícios relacionados

Verifique se a função é solução da equação diferencial .
Resolva a equação diferencial .
Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .