Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que serve para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos identificar a forma da parte não homogênea, que nesse caso é
, e escolher uma suposição adequada para a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o método dos coeficientes indeterminados funciona bem quando a parte não homogênea é uma função que já conhecemos, como exponenciais, senos, cossenos ou polinômios. Aqui, temos uma exponencial
, então vamos supor que a solução particular tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para substituir na equação original. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo para
:
Passo 6
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular é
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é solução da equação diferencial
.
Resolva a equação diferencial
.
Um engenheiro necessita fabricar uma peça metálica de formato de um arco de circunferência cujo comprimento externo seja igual a 8 cm . Essa peça metálica será fixada em um suporte, cuja medida do comprimento da base é igual a 6 cm , como ilustrado abaixo.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
O engenheiro deseja determinar o valor da medida da altura ( h ) dessa peça a fim de verificar se ela encaixará em uma máquina.
Com base nessas informações, resolva os itens que seguem:
A) proponha um modelo matemático (equação matemática) para a situação problema apresentada.
Justifique sua resposta em cada item:
Determine o valor da soma .
Determine o valor da soma