Uma pequena esfera de massa
, raio
e momento de inércia
é largada do repouso no ponto
e rola sem deslizar ao longo de um trilho
(Figura a lado). O trecho
é um plano inclinado de ângulo
e altura
e o trecho
é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera que pesa 100 gramas (ou seja, 0,1 kg) com um raio de 1,0 cm (0,01 metros). Ela tem um momento de inércia dado por
. A esfera é solta do repouso no ponto A e rola sem deslizar por um trilho que consiste em duas partes: a parte inclinada AB com ângulo de 30° e altura de 1,0 metro, e a parte horizontal BC. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade do centro de massa da esfera e qual é a sua velocidade angular no ponto C, usando os conceitos de conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “rolar sem deslizar”. Quando a esfera rola sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro de massa (
) e a velocidade angular (
) da esfera. Essa relação é dada por:
Isso significa que a velocidade linear é igual à velocidade angular multiplicada pelo raio da esfera.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o princípio da conservação de energia. Esse princípio nos diz que, na ausência de forças dissipativas como o atrito, a energia total do sistema permanece constante. No nosso caso, a esfera começa do repouso no ponto A, onde toda a energia é potencial gravitacional, e chega ao ponto C, onde toda a energia se converte em energia cinética (tanto translacional quanto rotacional).
A energia potencial gravitacional no ponto A é dada por:
Onde:
-
(massa da esfera) -
(aceleração da gravidade) -
(altura)
Passo 4
A energia cinética total no ponto C é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Sabendo que
e que
, podemos substituir
por
na equação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 5
Aplicando a conservação de energia, igualamos a energia potencial inicial à energia cinética final:
Percebemos que a massa
se cancela dos dois lados da equação:
Agora, isolamos
:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 6
Agora que temos a velocidade linear
, podemos encontrar a velocidade angular
usando a relação
:
Resposta
No ponto C, a velocidade do centro de massa da esfera é aproximadamente
e a sua velocidade angular é de
.