Uma pequena esfera de massa m=100 g, raio r=1,0 cm e momento de inércia I=(2 / 5) m r^2 é largada do repouso no ponto A e rola sem deslizar ao longo de um trilho A B C (Figura a lado). O trecho A B é um plano inclinado de ângulo theta=30^circ e altura h=1,0 m e o trecho B C é um plano horizontal. Utilizando conceitos de conservação de energia,
(a) Qual a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C?;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera que pesa 100 gramas (ou seja, 0,1 kg) com um raio de 1,0 cm (0,01 metros). Ela tem um momento de inércia dado por . A esfera é solta do repouso no ponto A e rola sem deslizar por um trilho que consiste em duas partes: a parte inclinada AB com ângulo de 30° e altura de 1,0 metro, e a parte horizontal BC. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade do centro de massa da esfera e qual é a sua velocidade angular no ponto C, usando os conceitos de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “rolar sem deslizar”. Quando a esfera rola sem deslizar, há uma relação entre a velocidade linear do centro de massa ( v = omega r ) e a velocidade angular ( ) da esfera. Essa relação é dada por:
Isso significa que a velocidade linear é igual à velocidade angular multiplicada pelo raio da esfera.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o princípio da conservação de energia. Esse princípio nos diz que, na ausência de forças dissipativas como o atrito, a energia total do sistema permanece constante. No nosso caso, a esfera começa do repouso no ponto A, onde toda a energia é potencial gravitacional, e chega ao ponto C, onde toda a energia se converte em energia cinética (tanto translacional quanto rotacional).
A energia potencial gravitacional no ponto A é dada por:
Ep = m g h
Onde:
  • (massa da esfera)
  • (aceleração da gravidade)
  • (altura)

Passo 4

A energia cinética total no ponto C é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Sabendo que Ek = 12 m v^2 + 12 ( 25 m r^2 ) ( vr )^2 e que Ek = 12 m v^2 + 15 m v^2 = 710 m v^2 , podemos substituir por na equação da energia cinética:
Simplificando:

Passo 5

Aplicando a conservação de energia, igualamos a energia potencial inicial à energia cinética final:
m g h = 710 m v^2
Percebemos que a massa g h = 710 v^2 se cancela dos dois lados da equação:
v^2 = 107 g h
Agora, isolamos v^2 = 107 times 9,8 , m/s^2 times 1,0 , m = 107 times 9,8 = 14 :
v = raiz14 approx 3,74 , m/s
Substituindo os valores:
Então:

Passo 6

Agora que temos a velocidade linear omega = vr = 3,74 , m/s0,01 , m = 374 , rad/s , podemos encontrar a velocidade angular usando a relação :

Resposta

No ponto C, a velocidade do centro de massa da esfera é aproximadamente e a sua velocidade angular é de .

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