Os engenheiros do mundo contemporâneo cumprem um papel multifacetado no contexto operacional que vai além da sua formação acadêmica, ou seja, atuam de forma participativa nos investimentos e formação de capital das empresas que atuam como exímios gestores. Sua experiência técnica, habilidades analíticas e capacidade de gestão adquiridos na Academia, desempenham um papel fundamental na tomada de decisões estratégicas que afetam a eficiência operacional, a inovação e o sucesso a longo prazo da empresa. Diante do exposto, considere que no contexto de investimento e formação de capital, se representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante e representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então
fornece o montante acumulado no período .
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função , definida para , representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando , apresente a solução através do cálculo da integral definida por partes do valor do montante acumulado no período em seguida marque a alternativa correta :
Solução
A. R .
B. R .
C. R$ 3720,00 .
D. .
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período é obtido integrando por partes a taxa de investimento líquido , ou seja, .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a taxa de investimento líquido de uma empresa de cosméticos, dada por . Queremos calcular o montante acumulado desse investimento no período de até . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais definidas e, mais especificamente, a integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a resolver integrais que são produtos de duas funções. A fórmula para integração por partes é:
Vamos identificar e na nossa integral :
  • Escolhemos porque sua derivada é mais simples.
  • Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores de , , :
Simplificando a segunda integral:
Integrando novamente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o montante acumulado no período de a :
Substituindo os valores:
Sabemos que e , então:

Resposta

A alternativa correta é a B. R$ 2950,00.

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