Os engenheiros do mundo contemporâneo cumprem um papel multifacetado no contexto operacional que vai além da sua formação acadêmica, ou seja, atuam de forma participativa nos investimentos e formação de capital das empresas que atuam como exímios gestores. Sua experiência técnica, habilidades analíticas e capacidade de gestão adquiridos na Academia, desempenham um papel fundamental na tomada de decisões estratégicas que afetam a eficiência operacional, a inovação e o sucesso a longo prazo da empresa. Diante do exposto, considere que no contexto de investimento e formação de capital, se
representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante
e
representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então
fornece o montante acumulado no período
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função
, definida para
, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando
, apresente a solução através do cálculo da integral definida por partes do valor do montante acumulado no período
em seguida marque a alternativa correta :
Solução
A. R
.
B. R
.
C. R$ 3720,00 .
D.
.
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período
é obtido integrando por partes a taxa de investimento líquido
, ou seja,
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função
Solução
A. R
B. R
C. R$ 3720,00 .
D.
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a taxa de investimento líquido de uma empresa de cosméticos, dada por
. Queremos calcular o montante acumulado desse investimento no período de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais definidas e, mais especificamente, a integração por partes.
Passo 2
A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a resolver integrais que são produtos de duas funções. A fórmula para integração por partes é:
Vamos identificar
e
na nossa integral
:
- Escolhemos
porque sua derivada é mais simples. - Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores de
,
,
:
Simplificando a segunda integral:
Integrando novamente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o montante acumulado no período de
a
:
Substituindo os valores:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A alternativa correta é a B. R$ 2950,00.
Exercícios relacionados
A integral definida de
em relação ao tempo
resulta na posição
, onde,
é a velocidade instantânea e
é a posição no tempo
. Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade
em relação ao tempo
para encontrar a função de posição
. Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo com uma função velocidade
. Qual a distância percorrida pela partícula entre
.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo
Esboce a região
b) Delimitada pela curva e as retas
b) Delimitada pela curva
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.