Os engenheiros do mundo contemporâneo cumprem um papel multifacetado no contexto operacional que vai além da sua formação acadêmica, ou seja, atuam de forma participativa nos investimentos e formação de capital das empresas que atuam como exímios gestores. Sua experiência técnica, habilidades analíticas e capacidade de gestão adquiridos na Academia, desempenham um papel fundamental na tomada de decisões estratégicas que afetam a eficiência operacional, a inovação e o sucesso a longo prazo da empresa. Diante do exposto, considere que no contexto de investimento e formação de capital, se M(t) representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante t e i(t) representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então
M=integrala^b i(t) d t
fornece o montante acumulado no período a <= t <= b.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função i(t)=t ln (t), definida para t >= 1, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando Ln(3) cong 1,1, apresente a solução através do cálculo da integral definida por partes do valor do montante acumulado no período 1 <= t <= 3 em seguida marque a alternativa correta :
Solução
A. R .
B. R B R .
C. R$ 3720,00 .
D. 2950,00.
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período 3720,00 D é obtido integrando por partes a taxa de investimento líquido 5180,00, ou seja, 8310,00 Dica: O valor do montante acumulado no período .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a taxa de investimento líquido de uma empresa de cosméticos, dada por . Queremos calcular o montante acumulado desse investimento no período de até . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais definidas e, mais especificamente, a integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a resolver integrais que são produtos de duas funções. A fórmula para integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar e na nossa integral :
  • Escolhemos porque sua derivada é mais simples.
  • Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular du = 1t , dt e v = integral t , dt = t^22 :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t ln(t) , dt = uv - integral v , du
Substituindo os valores de integral t ln(t) , dt = ln(t) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t , dt , integral t ln(t) , dt = t^2 ln(t)2 - 12 integral t , dt , t^2 ln(t)2 - 12 cdot t^22 + C = t^2 ln(t)2 - t^24 + C :
Simplificando a segunda integral:
Integrando novamente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o montante acumulado no período de M = [ t^2 ln(t)2 - t^24 ]1^3 a M = ( 9 cdot ln(3)2 - 94 ) - ( 1 cdot ln(1)2 - 14 ) :
M = ( 9 cdot 1,12 - 94 ) - ( 0 - 14 )
Substituindo os valores:
M = ( 9,92 - 2,25 ) - ( -0,25 )
Sabemos que M = 4,95 - 2,25 + 0,25 = 2,95 milhares de reais e , então:

Resposta

A alternativa correta é a B. R$ 2950,00.

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