Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar o método do fator integrante, que provavelmente é o que o “Problema 28” do seu material ensina. Vamos precisar identificar coeficientes e seguir os passos do método.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
Vamos calcular:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
, ou seja:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral à direita usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 8
Voltando à equação onde integramos:
Agora, isolamos
dividindo tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Os engenheiros do mundo contemporâneo cumprem um papel multifacetado no contexto operacional que vai além da sua formação acadêmica, ou seja, atuam de forma participativa nos investimentos e formação de capital das empresas que atuam como exímios gestores. Sua experiência técnica, habilidades analíticas e capacidade de gestão adquiridos na Academia, desempenham um papel fundamental na tomada de decisões estratégicas que afetam a eficiência operacional, a inovação e o sucesso a longo prazo da empresa. Diante do exposto, considere que no contexto de investimento e formação de capital, se
representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante
e
representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então
fornece o montante acumulado no período
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função , definida para
, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando
, apresente a solução através do cálculo da integral definida por partes do valor do montante acumulado no período
em seguida marque a alternativa correta :
Solução
A. R .
B. R .
C. R$ 3720,00 .
D. .
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período é obtido integrando por partes a taxa de investimento líquido
, ou seja,
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função
Solução
A. R
B. R
C. R$ 3720,00 .
D.
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período
Todas as soluções têm limite 3 quando
.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando
A funcão
Ediferençável no ponto
? Justificar sua resposta