Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar o método do fator integrante, que provavelmente é o que o “Problema 28” do seu material ensina. Vamos precisar identificar coeficientes e seguir os passos do método.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por
, é dado por:
Vamos calcular:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
, ou seja:
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral à direita usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 8
Voltando à equação onde integramos:
Agora, isolamos
dividindo tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.