Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar o método do fator integrante, que provavelmente é o que o “Problema 28” do seu material ensina. Vamos precisar identificar coeficientes e seguir os passos do método.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por , é dado por:
Vamos calcular:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto , ou seja:
Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Vamos resolver a integral à direita usando integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 8

Voltando à equação onde integramos:
Agora, isolamos dividindo tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use a Regra da Cadeia para achar ou .
Todas as soluções têm limite 3 quando .
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
A funcão
Ediferençável no ponto ? Justificar sua resposta