A integral definida de
em relação ao tempo
resulta na posição
, onde,
é a velocidade instantânea e
é a posição no tempo
. Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade
em relação ao tempo
para encontrar a função de posição
. Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo
com uma função velocidade
. Qual a distância percorrida pela partícula entre
.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! A questão nos pede para calcular a distância que uma partícula percorre ao longo do eixo
entre os instantes de tempo
e
segundos, dado que a velocidade da partícula é
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que nos permite encontrar a posição a partir da velocidade quando a velocidade varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida pela partícula é a integral definida da velocidade em relação ao tempo no intervalo dado. Matematicamente, isso é representado por:
Substituindo
pela função fornecida:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. A função
não é muito simples, então vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.
A fórmula para integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular a integral restante
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral. Escolhemos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Voltando à nossa equação inicial:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 6
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A distância percorrida pela partícula entre
e
segundos é aproximadamente:
Portanto, a partícula percorre aproximadamente 1,75 unidades de distância nesse intervalo de tempo.
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Esboce a região
b) Delimitada pela curva e as retas
b) Delimitada pela curva
Integrando a velocidade escalar ao longo do tempo, obtém-se a distância percorrida. Diante da afirmação, considere a velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro em um reta é
, para qualquer tempo
. Se o espaço,
quando
, determine o valor de
quando
, logo em seguida marque a alternativa correta: Considere:
-
= tempo em segundos; -
= distância percorrida em metro.
A. Quandosegundos, o valor de é 1 m .
B. Quandosegundos, o valor de é 4 m .
C. Quandosegundos, o valor de é 8 m .
D. Quandosegundos, o valor de é 12 m .
Quandosegundos, o valor de é 16 m .
Os engenheiros do mundo contemporâneo cumprem um papel multifacetado no contexto operacional que vai além da sua formação acadêmica, ou seja, atuam de forma participativa nos investimentos e formação de capital das empresas que atuam como exímios gestores. Sua experiência técnica, habilidades analíticas e capacidade de gestão adquiridos na Academia, desempenham um papel fundamental na tomada de decisões estratégicas que afetam a eficiência operacional, a inovação e o sucesso a longo prazo da empresa. Diante do exposto, considere que no contexto de investimento e formação de capital, se
representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante
e
representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então
fornece o montante acumulado no período
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função , definida para
, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando
, apresente a solução através do cálculo da integral definida por partes do valor do montante acumulado no período
em seguida marque a alternativa correta :
Solução
A. R .
B. R .
C. R$ 3720,00 .
D. .
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período é obtido integrando por partes a taxa de investimento líquido
, ou seja,
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função
Solução
A. R
B. R
C. R$ 3720,00 .
D.
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.