A integral definida de v(t) em relação ao tempo t resulta na posição s(t)= integrala^b v(t) d t, onde, v(t) é a velocidade instantânea e d(t) é a posição no tempo t. Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade v(t) em relação ao tempo t para encontrar a função de posição s(t). Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo x com uma função velocidade v(t)=t^2 e^-t. Qual a distância percorrida pela partícula entre t= 0 e t=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! A questão nos pede para calcular a distância que uma partícula percorre ao longo do eixo entre os instantes de tempo e segundos, dado que a velocidade da partícula é . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que nos permite encontrar a posição a partir da velocidade quando a velocidade varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida pela partícula é a integral definida da velocidade em relação ao tempo no intervalo dado. Matematicamente, isso é representado por:
s(t) = integral0^5 v(t) , dt
Substituindo s(t) = integral0^5 t^2 e^-t , dt pela função fornecida:

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. A função integral u , dv = uv - integral v , du não é muito simples, então vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.
A fórmula para integração por partes é:
du = 2t , dt
Vamos escolher v = integral e^-t , dt = -e^-t e . Assim, precisamos encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t^2 e^-t , dt = -t^2 e^-t + integral 2t e^-t , dt
Agora, precisamos calcular a integral restante du = 2 , dt . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral. Escolhemos v = -e^-t e integral 2t e^-t , dt = -2t e^-t + integral 2 e^-t , dt = -2t e^-t - 2 e^-t :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa equação inicial:
integral t^2 e^-t , dt = -t^2 e^-t + (-2t e^-t - 2 e^-t) = -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t
Agora, avaliamos essa expressão de s(t) = [ -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t ]0^5 a :

Passo 6

Calculando para -5^2 e^-5 - 2 cdot 5 e^-5 - 2 e^-5 = -25 e^-5 - 10 e^-5 - 2 e^-5 = -37 e^-5 :
-0^2 e^0 - 2 cdot 0 e^0 - 2 e^0 = 0 - 0 - 2 = -2
Calculando para s(t) = (-37 e^-5) - (-2) = -37 e^-5 + 2 :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre s(5) approx -37 e^-5 + 2 approx -37 times 00067 + 2 approx -02479 + 2 approx 17521 unidades de distância e segundos é aproximadamente:
â
Portanto, a partícula percorre aproximadamente 1,75 unidades de distância nesse intervalo de tempo.

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