A integral definida de
em relação ao tempo
resulta na posição
, onde,
é a velocidade instantânea e
é a posição no tempo
. Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade
em relação ao tempo
para encontrar a função de posição
. Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo
com uma função velocidade
. Qual a distância percorrida pela partícula entre
.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! A questão nos pede para calcular a distância que uma partícula percorre ao longo do eixo
entre os instantes de tempo
e
segundos, dado que a velocidade da partícula é
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que nos permite encontrar a posição a partir da velocidade quando a velocidade varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida pela partícula é a integral definida da velocidade em relação ao tempo no intervalo dado. Matematicamente, isso é representado por:
Substituindo
pela função fornecida:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. A função
não é muito simples, então vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.
A fórmula para integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular a integral restante
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral. Escolhemos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Voltando à nossa equação inicial:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 6
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A distância percorrida pela partícula entre
e
segundos é aproximadamente:
Portanto, a partícula percorre aproximadamente 1,75 unidades de distância nesse intervalo de tempo.