A integral definida de em relação ao tempo resulta na posição , onde, é a velocidade instantânea e é a posição no tempo . Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade em relação ao tempo para encontrar a função de posição . Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo com uma função velocidade . Qual a distância percorrida pela partícula entre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! A questão nos pede para calcular a distância que uma partícula percorre ao longo do eixo entre os instantes de tempo e segundos, dado que a velocidade da partícula é . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que nos permite encontrar a posição a partir da velocidade quando a velocidade varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância percorrida pela partícula é a integral definida da velocidade em relação ao tempo no intervalo dado. Matematicamente, isso é representado por:
Substituindo pela função fornecida:

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. A função não é muito simples, então vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui.
A fórmula para integração por partes é:
Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos calcular a integral restante . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral. Escolhemos e :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa equação inicial:
Agora, avaliamos essa expressão de a :

Passo 6

Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre e segundos é aproximadamente:
â
Portanto, a partícula percorre aproximadamente 1,75 unidades de distância nesse intervalo de tempo.

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b) Delimitada pela curva e as retas
Integrando a velocidade escalar ao longo do tempo, obtém-se a distância percorrida. Diante da afirmação, considere a velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro em um reta é , para qualquer tempo . Se o espaço, quando , determine o valor de quando , logo em seguida marque a alternativa correta: Considere:
  • = tempo em segundos;
  • = distância percorrida em metro.
    A. Quando segundos, o valor de é 1 m .
    B. Quando segundos, o valor de é 4 m .
    C. Quando segundos, o valor de é 8 m .
    D. Quando segundos, o valor de é 12 m .
    Quando segundos, o valor de é 16 m .
Use a Regra da Cadeia para achar ou .