Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar
ou
. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo, mais especificamente derivadas e a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções estão relacionadas e aplicar a regra certa para encontrar a derivada desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Queremos encontrar
, então vamos usar a Regra da Cadeia para derivar
em relação a
.
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que, se uma variável depende de outra, que por sua vez depende de
, devemos multiplicar as derivadas correspondentes. No caso de
,
depende de
,
e
, que dependem todas de
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
,
e
:
Passo 6
Precisamos derivar
em relação a
. Usamos a Regra da Cadeia novamente:
Agora, derivamos
:
Passo 7
Substituindo de volta na derivada de
:
Passo 8
Agora, substituímos todas as partes de volta na expressão original da derivada de
:
Passo 9
Agora, substituímos
,
e
na expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
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Os engenheiros do mundo contemporâneo cumprem um papel multifacetado no contexto operacional que vai além da sua formação acadêmica, ou seja, atuam de forma participativa nos investimentos e formação de capital das empresas que atuam como exímios gestores. Sua experiência técnica, habilidades analíticas e capacidade de gestão adquiridos na Academia, desempenham um papel fundamental na tomada de decisões estratégicas que afetam a eficiência operacional, a inovação e o sucesso a longo prazo da empresa. Diante do exposto, considere que no contexto de investimento e formação de capital, se
representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante
e
representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então
fornece o montante acumulado no período
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função , definida para
, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando
, apresente a solução através do cálculo da integral definida por partes do valor do montante acumulado no período
em seguida marque a alternativa correta :
Solução
A. R .
B. R .
C. R$ 3720,00 .
D. .
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período é obtido integrando por partes a taxa de investimento líquido
, ou seja,
.
Disponível em: < http://www.ime.uerj.br/>. Acesso em: 03 ago. 2014 (adaptado).
Considere que a função
Solução
A. R
B. R
C. R$ 3720,00 .
D.
E. R$ 8310,00 .
Dica: O valor do montante acumulado no período
A integral definida de
em relação ao tempo
resulta na posição
, onde,
é a velocidade instantânea e
é a posição no tempo
. Em termos matemáticos, você usa a integral da função de velocidade
em relação ao tempo
para encontrar a função de posição
. Isso é particularmente útil quando a velocidade varia com o tempo, pois a integral leva em consideração essa variação.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo com uma função velocidade
. Qual a distância percorrida pela partícula entre
.
Essa aplicação é comumente usada na resolução de problemas de cinemática em física e engenharia, onde é necessário calcular trajetórias, deslocamentos e posições de objetos em movimento com velocidade variável ao longo do tempo. Diante deste contexto, considere que uma partícula se move ao longo do eixo
Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
Todas as soluções têm limite 3 quando
.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando