Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t. w = x * e^(y * z), x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2 * t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar ou . A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo, mais especificamente derivadas e a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções estão relacionadas e aplicar a regra certa para encontrar a derivada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Queremos encontrar , então vamos usar a Regra da Cadeia para derivar em relação a .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que, se uma variável depende de outra, que por sua vez depende de , devemos multiplicar as derivadas correspondentes. No caso de , depende de , e , que dependem todas de .

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar , e :

Passo 6

Precisamos derivar em relação a . Usamos a Regra da Cadeia novamente:
Agora, derivamos :

Passo 7

Substituindo de volta na derivada de :

Passo 8

Agora, substituímos todas as partes de volta na expressão original da derivada de :

Passo 9

Agora, substituímos , e na expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

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