Uma força de intensidade
é aplicada sobre um bloco de massa
no instante que sua velocidade é igual a
. Sabendo que existe uma força contrária de intensidade igual a
, calcule a velocidade do bloco no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um bloco de massa
que está se movendo com uma velocidade inicial de
. Uma força que varia com o tempo, dada por
, está sendo aplicada nesse bloco. Além disso, existe uma força contrária, também variável,
. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do bloco quando
. Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton e integrar as forças para encontrar a aceleração e, consequentemente, a velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a força resultante (
) que atua sobre o bloco é a diferença entre a força aplicada e a força contrária. Ou seja:
Passo 3
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Onde
é a aceleração. Vamos isolar
:
Passo 4
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração:
Aqui,
é a velocidade inicial, que é
quando
.
Passo 5
Vamos substituir a expressão de
na integral:
Podemos simplificar a integral dividindo cada termo por 5:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos avaliando de 0 a
, a constante
cancela.
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 9
Finalmente, substituímos
na equação para encontrar a velocidade no instante desejado:
Simplificando:
Resposta
A velocidade do bloco no instante
é aproximadamente
.
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.
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