Uma força de intensidade F=2 t^2 é aplicada sobre um bloco de massa M=5 Kg no instante que sua velocidade é igual a 2 m / s. Sabendo que existe uma força contrária de intensidade igual a Fa t=3 t, calcule a velocidade do bloco no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco de massa M = 5,kg que está se movendo com uma velocidade inicial de 2,m/s. Uma força que varia com o tempo, dada por F = 2t^2, está sendo aplicada nesse bloco. Além disso, existe uma força contrária, também variável, Fat = 3t. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do bloco quando t = 2,s. Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton e integrar as forças para encontrar a aceleração e, consequentemente, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a força resultante ( Fres) que atua sobre o bloco é a diferença entre a força aplicada e a força contrária. Ou seja:
Fres = F - Fat = 2t^2 - 3t

Passo 3

Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Fres = M cdot a
Onde a é a aceleração. Vamos isolar a:
a = FresM = 2t^2 - 3t5

Passo 4

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração:
v(t) = v0 + integralt0^t a(tau) , dtau
Aqui, v0 é a velocidade inicial, que é 2,m/s quando t0 = 0,s.

Passo 5

Vamos substituir a expressão de a(t) na integral:
v(t) = 2 + integral0^t 2tau^2 - 3tau5 , dtau
Podemos simplificar a integral dividindo cada termo por 5:
v(t) = 2 + 15 integral0^t (2tau^2 - 3tau) , dtau

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral (2tau^2 - 3tau) , dtau = 23tau^3 - 32tau^2 + C
Como estamos avaliando de 0 a t, a constante C cancela.

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
v(t) = 2 + 15 [ 23t^3 - 32t^2 ]

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão:
v(t) = 2 + 215t^3 - 310t^2

Passo 9

Finalmente, substituímos t = 2,s na equação para encontrar a velocidade no instante desejado:
v(2) = 2 + 215(2)^3 - 310(2)^2 = 2 + 1615 - 1210
Simplificando:
v(2) = 2 + 1615 - 65 = 2 + 1,0667 - 1,2 = 1,8667,m/s

Resposta

A velocidade do bloco no instante t = 2,s é aproximadamente 1,87,m/s.

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