Uma força de intensidade é aplicada sobre um bloco de massa no instante que sua velocidade é igual a . Sabendo que existe uma força contrária de intensidade igual a , calcule a velocidade do bloco no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco de massa que está se movendo com uma velocidade inicial de . Uma força que varia com o tempo, dada por , está sendo aplicada nesse bloco. Além disso, existe uma força contrária, também variável, . Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do bloco quando . Para resolver isso, vamos usar as leis do movimento de Newton e integrar as forças para encontrar a aceleração e, consequentemente, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a força resultante ( ) que atua sobre o bloco é a diferença entre a força aplicada e a força contrária. Ou seja:

Passo 3

Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Onde é a aceleração. Vamos isolar :

Passo 4

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração:
Aqui, é a velocidade inicial, que é quando .

Passo 5

Vamos substituir a expressão de na integral:
Podemos simplificar a integral dividindo cada termo por 5:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos avaliando de 0 a , a constante cancela.

Passo 7

Substituindo os limites de integração:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão:

Passo 9

Finalmente, substituímos na equação para encontrar a velocidade no instante desejado:
Simplificando:

Resposta

A velocidade do bloco no instante é aproximadamente .

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