As engrenagens A, B e C, de raios RA, RB e RC, acima desenhadas, fazem parte de um conjunto que funciona com um motor acoplado à engrenagem de raio RA = 20 cm, fazendo-a girar com frequência constante de 120 rpm, no sentido horário. Conhecendo-se o raio RB = 10 cm e RC = 25 cm, pode-se afirmar que, no SI (Sistema Internacional de Unidades), a frequência da engrenagem C tem módulo igual a: Dado: considere 2 = 10.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três engrenagens: A, B e C, com raios RA = 20 cm, RB = 10 cm e RC = 25 cm, respectivamente. A engrenagem A está girando a uma frequência constante de 120 rpm (rotações por minuto) no sentido horário, impulsionada por um motor. A pergunta é: qual é a frequência da engrenagem C no Sistema Internacional de Unidades (SI)? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica relacionados a engrenagens e como a velocidade de rotação delas está ligada aos seus raios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas engrenagens estão em contato, a velocidade tangencial nas duas deve ser a mesma para que não haja deslizamento. A velocidade tangencial (v) de uma engrenagem é calculada pela fórmula:
Onde:
- $ \omega $ é a velocidade angular (em rad/s)
- $ R $ é o raio da engrenagem
Como as velocidades tangenciais são iguais para engrenagens que estão em contato, podemos relacionar as velocidades angulares e os raios das engrenagens. Isso significa que:
E de forma semelhante:
Passo 3
Vamos começar encontrando a velocidade angular da engrenagem B ($ \omega_B $) usando a relação entre as engrenagens A e B:
Sabemos que:
- $ \omega_A = 120 $ rpm
- $ R_A = 20 $ cm
- $ R_B = 10 $ cm
Primeiro, precisamos converter a velocidade angular de rpm para rad/s para trabalhar no SI:
(Usamos $ 2\pi $ rad/rotações e dividimos por 60 para converter minutos em segundos)
Agora, aplicando a relação:
Resolvendo para $ \omega_B $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade angular da engrenagem C ($ \omega_C $) usando a relação entre as engrenagens B e C:
Já encontramos $ \omega_B = 8\pi , rad/s $, e sabemos que:
- $ R_B = 10 $ cm
- $ R_C = 25 $ cm
Aplicando a relação:
Resolvendo para $ \omega_C $:
Passo 5
Por fim, vamos converter a velocidade angular de $ \omega_C $ de rad/s para hertz (Hz), que é a unidade padrão de frequência no SI. Sabemos que:
Substituindo $ \omega_C $:
Resposta
A frequência da engrenagem C é igual a 1,6 Hz.