Imagine a seguinte situação, você precisa ligar três pontos e não sabe o tipo de curva que possa uni-los, qual seria a curva certa para isso? Lagrange, um matemático extremamente renomado no campo das ciências exatas, estudou uma maneira de solucionar este impasse. Para tanto, observou que ao interpolar os pontos do plano cartesiano, é possível identificar uma curva que passa por todos os pontos. Com base nessas premissas, analise as seguintes afirmações sobre o método da interpolação de Lagrange: O método da interpolação de Lagrange gera um polinômio que caracteriza uma curva que passa por todos os pontos desejados. O polinômio de Lagrange pode ser representado da seguinte maneira: Na equação do polinômio de Lagrange, é o polinômio que é responsável por interpolar os três pontos, e por sua vez, é a função de Lagrange, que matematicamente assumirá um valor distinto para cada posição. No método de interpolação de Lagrange, quando o cálculo é feito com 3 pontos, o polinômio é de grau 2, quando efetuado com 4 pontos, o polinômio é de grau 3, e assim sucessivamente. Estão corretas:
a. Apenas III e IV.
b. Apenas II e III.
c. Nenhuma alternativa.
d. Todas as alternativas.
e. Apenas I e II.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre o método de interpolação de Lagrange. A gente precisa entender o que cada afirmação está dizendo sobre como ligar três pontos com uma curva usando o polinômio de Lagrange. Pra resolver isso, vamos precisar saber o que é interpolação, como funciona o polinômio de Lagrange e qual é o grau do polinômio dependendo do número de pontos.

Passo 2

Primeiro, interpolação é uma técnica matemática usada pra encontrar uma função que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. No caso do Lagrange, a gente usa um polinômio específico que faz isso. Esse polinômio é construído de tal forma que passa por todos os pontos que a gente quer conectar.

Passo 3

O polinômio de Lagrange pode ser representado pela seguinte fórmula:
P(x) = sumi=0^n yi cdot elli(x)
Onde cada elli(x) é uma função de Lagrange definida por:
elli(x) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i x - xjxi - xj
Essa fórmula garante que P(x) passe exatamente por todos os pontos (xi, yi).

Passo 4

Analisando as afirmações:
I. O método da interpolação de Lagrange gera um polinômio que caracteriza uma curva que passa por todos os pontos desejados.
  • Correção: Isso está correto, pois é exatamente isso que a interpolação de Lagrange faz.
II. O polinômio de Lagrange pode ser representado da seguinte maneira: [fórmula apresentada].
  • Correção: Também está correto, já que a representação do polinômio de Lagrange segue essa fórmula.
III. Na equação do polinômio de Lagrange, elli(x) é o polinômio responsável por interpolar os três pontos, e por sua vez, elli(x) assume um valor distinto para cada posição.
  • Correção: Isso está correto. Cada elli(x) é uma função que vale 1 em xi e 0 nos outros pontos, garantindo que P(x) passe por cada ponto específico.
IV. No método de interpolação de Lagrange, quando o cálculo é feito com 3 pontos, o polinômio é de grau 2, quando efetuado com 4 pontos, o polinômio é de grau 3, e assim sucessivamente.
  • Correção: Isso também está correto. O grau do polinômio de Lagrange é sempre um a menos que o número de pontos, ou seja, com n+1 pontos, o grau é n.

Resposta

d. Todas as alternativas.

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