Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de :
;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial . Isso está dentro de , que é o espaço de todos os vetores com duas coordenadas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como determinar a dimensão de um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. No nosso caso, o conjunto é um subespaço porque:
  1. Vetor zero: Se , então , então pertence ao conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se temos dois vetores e , sua soma é , que também satisfaz .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicamos por um escalar , obtemos , que ainda satisfaz .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 4

Vamos encontrar uma base para o nosso conjunto. Observamos que cada vetor no conjunto pode ser escrito como . Isso mostra que qualquer vetor no espaço é múltiplo escalar de . Portanto, o conjunto é uma base para o espaço.

Passo 5

Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do espaço é 1. Isso significa que todo o espaço está “na linha”, já que qualquer vetor pode ser representado por um único parâmetro escalar multiplicando o vetor base.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 1 e uma base para ele é .

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e , encontrar .