Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de M(2,2) :
(x, y) in R^2 mid y=2 x;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial (x, y) in R^2 mid y=2 x. Isso está dentro de R^2, que é o espaço de todos os vetores com duas coordenadas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como determinar a dimensão de um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de R^2 é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. No nosso caso, o conjunto (x, y) in R^2 mid y=2 x é um subespaço porque:
  1. Vetor zero: Se x = 0, então y = 2 cdot 0 = 0, então (0,0) pertence ao conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se temos dois vetores (x1, 2x1) e (x2, 2x2), sua soma é (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2)), que também satisfaz y = 2x.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicamos (x, 2x) por um escalar k, obtemos (kx, 2kx), que ainda satisfaz y = 2x.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 4

Vamos encontrar uma base para o nosso conjunto. Observamos que cada vetor no conjunto pode ser escrito como (x, 2x) = x cdot (1, 2). Isso mostra que qualquer vetor no espaço é múltiplo escalar de (1, 2). Portanto, o conjunto (1, 2) é uma base para o espaço.

Passo 5

Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do espaço é 1. Isso significa que todo o espaço está “na linha”, já que qualquer vetor pode ser representado por um único parâmetro escalar multiplicando o vetor base.

Resposta

A dimensão do espaço vetorial é 1 e uma base para ele é ,1 2,.

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