Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial
. Isso está dentro de
, que é o espaço de todos os vetores com duas coordenadas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como determinar a dimensão de um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. No nosso caso, o conjunto
é um subespaço porque:
- Vetor zero: Se
, então , então pertence ao conjunto. - Fechado sob adição: Se temos dois vetores
e , sua soma é , que também satisfaz . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicamos
por um escalar , obtemos , que ainda satisfaz .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre dimensão. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 4
Vamos encontrar uma base para o nosso conjunto. Observamos que cada vetor no conjunto pode ser escrito como
. Isso mostra que qualquer vetor no espaço é múltiplo escalar de
. Portanto, o conjunto
é uma base para o espaço.
Passo 5
Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão do espaço é 1. Isso significa que todo o espaço está “na linha”, já que qualquer vetor pode ser representado por um único parâmetro escalar multiplicando o vetor base.
Resposta
A dimensão do espaço vetorial é 1 e uma base para ele é
.
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é tal que:
e
, encontrar
.