Verifique se quais das transforcões são lineares:
T: R^2 R^3, T(x, y)=(x-y, 2 x+y, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma transformação específica é linear. O conteúdo que vamos usar é o de Transformações Lineares. Para resolver isso, precisamos checar se a transformação satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos analisar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação T(x, y) = (x - y, 2x + y, 0) é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada:

Passo 3

Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), 2(x1 + x2) + (y1 + y2), 0) e = (x1 + x2 - y1 - y2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2, 0) em T(x1, y1) = (x1 - y1, 2x1 + y1, 0) .
Primeiro, calculamos T(x2, y2) = (x2 - y2, 2x2 + y2, 0) :
T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1 - y1 + x2 - y2, 2x1 + y1 + 2x2 + y2, 0 + 0)
= (x1 + x2 - y1 - y2, 2x1 + 2x2 + y1 + y2, 0)
Agora, calculamos :
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos considerar um vetor T(cx, cy) = (cx - cy, 2(cx) + cy, 0) em = (c(x - y), 2cx + cy, 0) e um escalar = c(x - y, 2x + y, 0) .
Primeiro, calculamos = cT(x, y) :
Vemos que , então a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que essa transformação é linear.

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