Verifique se quais das transforcões são lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma transformação específica é linear. O conteúdo que vamos usar é o de Transformações Lineares. Para resolver isso, precisamos checar se a transformação satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos analisar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada:
Passo 3
Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
em
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Vemos que
, então a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos considerar um vetor
em
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
:
Vemos que
, então a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que essa transformação é linear.
Exercícios relacionados
Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de
:
;
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Sabendo que um operador linear
é tal que:
e
, encontrar
.
Verifique se quais das transforcões são lineares: