Verifique se quais das transforcões são lineares:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma transformação específica é linear. O conteúdo que vamos usar é o de Transformações Lineares. Para resolver isso, precisamos checar se a transformação satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos analisar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada:

Passo 3

Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e em .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Vemos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos considerar um vetor em e um escalar .
Primeiro, calculamos :
Vemos que , então a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que essa transformação é linear.

Exercícios relacionados

Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de :
;
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Sabendo que um operador linear é tal que:
e , encontrar .
Verifique se quais das transforcões são lineares: