Verifique se quais das transforcões são lineares:
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+y, y+z)

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores no domínio.
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas propriedades para .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (y1 + y2) + (z1 + z2)) e T(u) + T(v) = (x1 + y1, y1 + z1) + (x2 + y2, y2 + z2) = (x1 + y1 + x2 + y2, y1 + z1 + y2 + z2) .
Então:
E:
Os resultados são iguais, então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Para um escalar T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + cy, cy + cz) = c(x + y, y + z) = cT(u) e vetor :
A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de linearidade são verificadas, a transformação é linear.

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