Sabendo que um operador linear
é tal que:
e
, encontrar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear
que transforma vetores no espaço bidimensional
. A gente sabe como
age nos vetores básicos
e
, e precisamos descobrir como ele transforma qualquer vetor
. Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e propriedades de operações lineares.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores básicos:
Isso significa que para encontrar
, a gente pode aplicar a transformação
em cada parte separadamente.
Passo 3
Como
é um operador linear, ele respeita a propriedade da linearidade. Ou seja:
A gente já sabe que:
Então, substituindo esses valores na expressão acima:
Passo 4
Agora, vamos fazer as multiplicações e somas das componentes:
Resposta
A transformação
aplicada a qualquer vetor
é: