Sabendo que um operador linear é tal que:
e , encontrar .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear que transforma vetores no espaço bidimensional . A gente sabe como age nos vetores básicos e , e precisamos descobrir como ele transforma qualquer vetor . Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e propriedades de operações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores básicos:
Isso significa que para encontrar , a gente pode aplicar a transformação em cada parte separadamente.

Passo 3

Como é um operador linear, ele respeita a propriedade da linearidade. Ou seja:
A gente já sabe que:
Então, substituindo esses valores na expressão acima:

Passo 4

Agora, vamos fazer as multiplicações e somas das componentes:

Resposta

A transformação aplicada a qualquer vetor é:

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Verifique se quais das transforcões são lineares:
Enocntrar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais de :
;
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se , então são paralelos.