Sabendo que um operador linear T: R^2 R^2 é tal que:
T(1,0)=(3,2) e T(0,1)=(1,4), encontrar T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear que transforma vetores no espaço bidimensional . A gente sabe como age nos vetores básicos e , e precisamos descobrir como ele transforma qualquer vetor . Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e propriedades de operações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que qualquer vetor (x, y) = x cdot (1, 0) + y cdot (0, 1) em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores básicos:
Isso significa que para encontrar , a gente pode aplicar a transformação em cada parte separadamente.

Passo 3

Como T(x, y) = T(x cdot (1, 0) + y cdot (0, 1)) = x cdot T(1, 0) + y cdot T(0, 1) é um operador linear, ele respeita a propriedade da linearidade. Ou seja:
T(1, 0) = (3, 2) e T(0, 1) = (1, 4)
A gente já sabe que:
T(x, y) = x cdot (3, 2) + y cdot (1, 4)
Então, substituindo esses valores na expressão acima:

Passo 4

Agora, vamos fazer as multiplicações e somas das componentes:
T(x, y) = (3x, 2x) + (y, 4y) = (3x + y, 2x + 4y)

Resposta

A transformação T(x, y) = (3x + y, 2x + 4y) aplicada a qualquer vetor é:

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