Enquanto um balão esferico está sendo enchido de ar tanto o seu volume quanto o seu raio aumentam ao longo do tempo. Seja V o volume e R o raio do baão em dado instante.
Sabendo que essas grandezas estão correlacionadas pela lei de formação V = (4πr3) / 3 assinale a alternativa que apresenta a variação do volume do balão com relação ao raio quando este é igual R = 5cm
A 300π
B 250π
C 215π
D 100π
E 350π
Sabendo que essas grandezas estão correlacionadas pela lei de formação V = (4πr3) / 3 assinale a alternativa que apresenta a variação do volume do balão com relação ao raio quando este é igual R = 5cm
A 300π
B 250π
C 215π
D 100π
E 350π
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um balão esférico que está sendo enchido, e tanto o volume $ V $ quanto o raio $ R $ estão aumentando com o tempo. A relação entre eles é dada pela fórmula do volume de uma esfera:
O que a gente precisa encontrar é como o volume muda em relação ao raio quando o raio é igual a 5 cm. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos mostram a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos achar a derivada de $ V $ em relação a $ R $, ou seja, $ \frac{dV}{dR} $. Isso nos diz como o volume muda quando o raio muda um pouquinho.
Passo 3
Vamos derivar a fórmula do volume em relação a $ R $. A função é:
Para derivar $ V $ em relação a $ R $, aplicamos a regra da potência. A derivada de $ R^n $ é $ nR^{n-1} $.
Passo 4
Aplicando a derivada:
Aqui, multiplicamos 3 por $ R^2 $ e depois dividimos por 3, que simplifica.
Passo 5
Simplificando:
Então, a taxa de variação do volume em relação ao raio é $ 4\pi R^2 $.
Passo 6
Agora, substituímos $ R = 5 $ cm nessa expressão para encontrar a variação específica:
Calculando $ 5^2 = 25 $:
Resposta
A variação do volume do balão com relação ao raio quando $ R = 5 $ cm é $ 100\pi $.