Um homem possui quatro chaves em seu bolso. Como está escuro, ele nãoconsegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa, que se encontra trancada.Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.a) Defina a variável aleatória X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir aporta (inclusive a chave correta). Quais são os valores de X?b) Encontre a função de probabilidade de X.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema. Um cara tem quatro chaves no bolso e precisa abrir a porta da casa, mas está escuro e não consegue ver qual é a chave certa. Ele vai experimentar as chaves até achar a correta. Estamos lidando com probabilidades aqui, especificamente com variáveis aleatórias. Precisamos definir a variável aleatória $ X $ que representa o número de chaves que ele vai tentar até abrir a porta, e depois encontrar os valores possíveis de $ X $ e sua função de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória $ X $. Ela representa o número de chaves que o homem vai experimentar até conseguir abrir a porta, incluindo a chave correta.
Como ele tem quatro chaves e só uma delas abre a porta, os possíveis cenários são:
  • Ele tenta a primeira chave e abre a porta: $ X = 1 $
  • Ele não abre com a primeira, tenta a segunda e abre: $ X = 2 $
  • Ele não abre com as duas primeiras, tenta a terceira e abre: $ X = 3 $
  • Ele não abre com as três primeiras, tenta a quarta e abre: $ X = 4 $
Então, os valores possíveis de $ X $ são 1, 2, 3 e 4.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de probabilidade de $ X $. Isso significa determinar a probabilidade de o homem precisar experimentar exatamente 1, 2, 3 ou 4 chaves para abrir a porta.
Como não há informações sobre uma ordem específica das chaves, podemos assumir que todas as sequências de tentativa são igualmente prováveis. Há apenas uma chave que abre a porta e três que não abrem.
  • Probabilidade de $ X = 1 $: Ele abre a porta na primeira tentativa. Como há 1 chave correta entre 4, a probabilidade é $ \frac{1}{4} $.
  • Probabilidade de $ X = 2 $: Ele não abre na primeira tentativa e abre na segunda. A probabilidade de não abrir na primeira é $ \frac{3}{4} $, e então, entre as 3 chaves restantes, 1 é correta. Então, $ \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} $.
  • Probabilidade de $ X = 3 $: Ele não abre nas duas primeiras tentativas e abre na terceira. A probabilidade de não abrir nas duas primeiras é $ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2} $, e então, entre as 2 chaves restantes, 1 é correta. Então, $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
  • Probabilidade de $ X = 4 $: Ele não abre nas três primeiras tentativas e abre na quarta. A probabilidade de não abrir nas três primeiras é $ \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $, e a última chave definitivamente abre, então a probabilidade é $ \frac{1}{4} $.

Resposta

a) Os valores possíveis de $ X $ são 1, 2, 3 e 4.
b) A função de probabilidade de $ X $ é:
X

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