Sabe-se que a área sob a curva de uma função em um intervalo pode ser aproximada por retângulos, em particular por um retângulo de altura média, definido pelo teorema do valor médio. Ache o valor médio da função f(x)=√x no intervalo [1,4] e todos os pontos do intervalo nos quais o valor de f é igual ao valor médio. Assinale a alternativa correta.
A)1,5556 e 196/81.
B)-1,556 e 196/81.
C)-1 e 2.
D)1 e 2.
A)1,5556 e 196/81.
B)-1,556 e 196/81.
C)-1 e 2.
D)1 e 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor médio da função $ f(x) = \sqrt{x} $ no intervalo de 1 a 4. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o Teorema do Valor Médio para integrais. Para resolver, vamos precisar calcular a integral da função no intervalo e depois dividir pelo tamanho do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de $ f(x) = \sqrt{x} $ de 1 a 4. A integral de $ \sqrt{x} $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa integral de 1 a 4:
Sabendo que $ 4^{3/2} = ( \sqrt{4} )^3 = 2^3 = 8 $ e $ 1^{3/2} = 1 $:
Passo 4
Agora, para achar o valor médio, a gente divide essa integral pelo tamanho do intervalo. O intervalo de 1 a 4 tem comprimento:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os pontos no intervalo [1,4] onde $ f(x) $ é igual ao valor médio, ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para $ x $:
Passo 6
Temos que verificar se esse valor está dentro do intervalo [1,4]. Como $ \frac{196}{81} \approx 2,420 $ está entre 1 e 4, esse é o único ponto onde a função atinge o valor médio.
Resposta
A alternativa correta é a A) 1,5556 e 196/81.