Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M=2,3 kg e raio R=5 0 c m. O cilindro gira com atrito desprezível_em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m=8 0 0 g e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância h=1,5 m acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo se desenrola sem se esticar nem deslizar. Calcule a velocidade do bloco que cai e a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.
(a) Inicial (bloco no ponto 1)
(f) Cilindro maciço
(b) Final (bloco no ponto 2)
m g h=12 m v^2+12 I omega^2
K1+Ug1=K2+Ug2
m g h=K2
OBS: Consideramos que o cabo possui massa desprezível.
Profa . Melissa F. Siqueira Savedra

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos um cilindro com massa e raio (ou 0,5 metros). Um cabo está enrolado nesse cilindro e preso a um bloco de massa (ou 0,8 kg). Quando soltamos o bloco a partir de uma altura , ele começa a cair, desenrolando o cabo do cilindro. Queremos descobrir a velocidade do bloco quando ele atinge o chão e a velocidade angular do cilindro nesse instante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Rotação de Corpos Rígidos, especificamente a conservação da energia.

Passo 2

Inicialmente, o bloco está parado a uma altura Ui = mgh , então ele tem energia potencial gravitacional dada por:
mgh = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Aqui:
  • é a massa do bloco.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
  • é a altura.
Quando o bloco cai, essa energia potencial se transforma em energia cinética tanto do bloco ( ) quanto do cilindro ( ) devido à sua rotação.
Então, pela conservação da energia:
Onde:
  • é a velocidade do bloco.
  • é a velocidade angular do cilindro.
  • é o momento de inércia do cilindro.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia ( I = 12 M R^2 ) do cilindro. Para um cilindro maciço, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
I = 12 times 2,3 , kg times (0,5 , m)^2 = 12 times 2,3 times 0,25 = 0,2875 , kg·m^2
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a velocidade linear do bloco ( v = omega R implies omega = vR ) com a velocidade angular do cilindro ( ). Como o cabo não desliza, a velocidade do bloco é igual à velocidade de ponto na borda do cilindro:

Passo 5

Substituindo mgh = 12 m v^2 + 12 ( 12 M R^2 ) ( vR )^2 e mgh = 12 m v^2 + 14 M v^2 na equação de conservação da energia:
Simplificando:

Passo 6

Fatorando mgh = v^2 ( 12 m + 14 M ) :
v^2 = mgh12 m + 14 M
Isolando :

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
v^2 = 0,8 , kg times 9,8 , m/s^2 times 1,5 , m12 times 0,8 , kg + 14 times 2,3 , kg = 11,760,4 + 0,575 = 11,760,975 approx 12,06 , m^2/s^2
Então,
v = raiz12,06 approx 3,47 , m/s

Passo 8

Agora, vamos encontrar a velocidade angular do cilindro usando omega = 3,47 , m/s0,5 , m = 6,94 , rad/s :

Resposta

A velocidade do bloco ao atingir o solo é aproximadamente e a velocidade angular do cilindro nesse instante é .

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