Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M=2,3 kg e raio
. O cilindro gira com atrito desprezível_em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa
e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância
acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo se desenrola sem se esticar nem deslizar. Calcule a velocidade do bloco que cai e a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.
(a) Inicial (bloco no ponto 1)
(f) Cilindro maciço
(b) Final (bloco no ponto 2)
OBS: Consideramos que o cabo possui massa desprezível.
Profa . Melissa F. Siqueira Savedra
(a) Inicial (bloco no ponto 1)
(f) Cilindro maciço
(b) Final (bloco no ponto 2)
Profa . Melissa F. Siqueira Savedra
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos um cilindro com massa
e raio
(ou 0,5 metros). Um cabo está enrolado nesse cilindro e preso a um bloco de massa
(ou 0,8 kg). Quando soltamos o bloco a partir de uma altura
, ele começa a cair, desenrolando o cabo do cilindro. Queremos descobrir a velocidade do bloco quando ele atinge o chão e a velocidade angular do cilindro nesse instante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Mecânica e Rotação de Corpos Rígidos, especificamente a conservação da energia.
Passo 2
Inicialmente, o bloco está parado a uma altura
, então ele tem energia potencial gravitacional dada por:
Aqui:
-
é a massa do bloco. -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a altura.
Quando o bloco cai, essa energia potencial se transforma em energia cinética tanto do bloco (
) quanto do cilindro (
) devido à sua rotação.
Então, pela conservação da energia:
Onde:
-
é a velocidade do bloco. -
é a velocidade angular do cilindro. -
é o momento de inércia do cilindro.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia (
) do cilindro. Para um cilindro maciço, o momento de inércia em relação ao eixo central é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a velocidade linear do bloco (
) com a velocidade angular do cilindro (
). Como o cabo não desliza, a velocidade do bloco é igual à velocidade de ponto na borda do cilindro:
Passo 5
Substituindo
e
na equação de conservação da energia:
Simplificando:
Passo 6
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 7
Substituindo os valores numéricos:
Então,
Passo 8
Agora, vamos encontrar a velocidade angular do cilindro usando
:
Resposta
A velocidade do bloco ao atingir o solo é aproximadamente
e a velocidade angular do cilindro nesse instante é
.