Um garoto anda em uma roda gigante de raio
que gira a uma velocidade angular
. A força que a cadeira faz para sustentar o garoto é variável durante o ciclo, e seu valor máximo é
. (a) qual é a massa do garoto? (b) Qual é o valor mínimo da força da cadeira sobre o garoto?
Resposta : (a)
; (b)
.
Resposta : (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um garoto que está andando numa roda gigante que tem raio
e gira com uma velocidade angular
. A força que a cadeira exerce para segurar o garoto varia conforme a roda gira, e o valor máximo dessa força é
.
Matéria envolvida: Física, especificamente movimentos circulares e forças em movimentos não uniformes.
O que vamos precisar: Entender como calcular a massa do garoto usando as forças que atuam nele durante o movimento circular e determinar a força mínima que a cadeira exerce sobre ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam no garoto enquanto ele está na roda gigante. Existem duas forças principais:
- Força da cadeira (
): É a força que a cadeira exerce para segurar o garoto. Ela varia dependendo da posição do garoto na roda. - Peso do garoto (
): É a força da gravidade que puxa o garoto para baixo, onde é a massa do garoto e é a aceleração da gravidade.
Como a roda está girando, o garoto está em movimento circular, e por isso precisa de uma força centrípeta (
) para manter esse movimento. A força centrípeta é fornecida pela diferença entre a força da cadeira e o peso do garoto.
A fórmula para a força centrípeta é:
onde
é a velocidade angular e
é o raio da roda.
Passo 3
Agora, vamos analisar o ponto em que a força da cadeira é máxima (
). Esse máximo ocorre quando o garoto está no ponto mais baixo da roda, porque nesse ponto a força da cadeira precisa não só fornecer a força centrípeta, mas também equilibrar o peso do garoto.
Então, a força máxima da cadeira é:
Podemos fatorar
da equação:
Passo 4
Para encontrar a massa do garoto (
), vamos rearranjar a equação acima para resolver
:
Prontinho! Esse é o resultado para a parte (a).
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a força mínima que a cadeira exerce sobre o garoto (
). A força mínima ocorre quando o garoto está no ponto mais alto da roda gigante. Nesse ponto, a força da cadeira precisa apenas fornecer a força centrípeta, já que a gravidade está ajudando a puxar o garoto para o centro.
A força mínima da cadeira é então:
Também podemos escrever isso como:
Mas queremos expressar
em termos de
, que já encontramos. Sabemos que:
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando, temos:
Resposta
(a) A massa do garoto é:
(b) A força mínima da cadeira sobre o garoto é: