Um ensaio de sedimentação foi realizado em laboratório com a finalidade de fornecer dados para o projeto de um decantador que será operado em uma estação de tratamento de efluentes (ETE) de uma indústria de laticínios. A concentração inicial da suspensão é de 58 g de sólidos/kg de água. Os dados experimentais obtidos foram os seguintes:
theta(min) 0 2,5 5,5 10,5 20 24 35 45 56 60 120
Z(cm) 50 47 40 32 22 16 13,2 11,4 10,0 9,0 8,0
(a) Calcule a velocidade de sedimentação em cada ponto.
(b) Calcule a concentração em cada ponto.
© Calcule a área do decantador pelo método de Roberts para uma vazão de entrada de 4 times 10^6 I / dia e concentração final de sólidos de 194 kg / m^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um experimento de sedimentação onde a concentração inicial da suspensão é de 58 g de sólidos por kg de água. Foram coletados dados de altura (Z) da suspensão em diferentes tempos (θ). Precisamos resolver três partes:
a) Calcular a velocidade de sedimentação em cada ponto.
b) Calcular a concentração em cada ponto.
c) Calcular a área do decantador usando o método de Roberts, considerando uma vazão de entrada de e uma concentração final de sólidos de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinética de sedimentação, balanço de massa e métodos de dimensionamento de decantadores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): calcular a velocidade de sedimentação em cada ponto.
A velocidade de sedimentação ( v = De) representa a rapidez com que os sólidos sedimentam na água. Para calcular isso, podemos usar a fórmula básica da velocidade média:
onde:
  • é a variação da altura da suspensão (em cm)
  • é a variação do tempo (em minutos)
Vamos calcular entre cada par de pontos consecutivos.

Passo 3

Vamos organizar os dados:
v = 47 - 502,5 - 0 = -32,5 = -1,2 , cm/min 0 2,5 5,5 10,5 20 24 35 45 56 60 120
v = 40 - 475,5 - 2,5 = -73 approx -2,33 , cm/min 50 47 40 32 22 16 13,2 11,4 10,0 9,0 8,0
Agora, vamos calcular a velocidade entre cada intervalo:
  1. Entre 0 min e 2,5 min:
  1. Entre 2,5 min e 5,5 min:
E assim por diante para os demais intervalos.

Passo 4

Continuando os cálculos de velocidade para todos os intervalos:
  1. Entre 5,5 min e 10,5 min:
v = 32 - 4010,5 - 5,5 = -85 = -1,6 , cm/min
  1. Entre 10,5 min e 20 min:
v = 22 - 3220 - 10,5 = -109,5 approx -1,05 , cm/min
  1. Entre 20 min e 24 min:
v = 16 - 2224 - 20 = -64 = -1,5 , cm/min
  1. Entre 24 min e 35 min:
v = 13,2 - 1635 - 24 = -2,811 approx -0,25 , cm/min
  1. Entre 35 min e 45 min:
v = 11,4 - 13,245 - 35 = -1,810 = -0,18 , cm/min
  1. Entre 45 min e 56 min:
v = 10,0 - 11,456 - 45 = -1,411 approx -0,13 , cm/min
  1. Entre 56 min e 60 min:
v = 9,0 - 10,060 - 56 = -14 = -0,25 , cm/min
  1. Entre 60 min e 120 min:
v = 8,0 - 9,0120 - 60 = -160 approx -0,0167 , cm/min

Passo 5

Agora, vamos organizar todas as velocidades calculadas:
Intervalo de Tempo ( ) Velocidade de Sedimentação ( , cm/min)
0 - 2,5 min -1,2
2,5 - 5,5 min -2,33
5,5 - 10,5 min -1,6
10,5 - 20 min -1,05
20 - 24 min -1,5
24 - 35 min -0,25
35 - 45 min -0,18
45 - 56 min -0,13
56 - 60 min -0,25
60 - 120 min -0,0167
Notamos que as velocidades são negativas porque a altura está diminuindo com o tempo, indicando sedimentação.

Passo 6

**

Passo 7

Agora vamos para a parte (b): calcular a concentração em cada ponto.
Para isso, vamos considerar que a concentração de sólidos na suspensão diminui à medida que a sedimentação ocorre. Podemos usar a relação entre a altura da suspensão e a concentração.
A concentração ( Ci times Zi = Cinicial times Zinicial ) pode ser calculada usando o princípio de que a massa de sólidos permanece constante durante a sedimentação. Assim:
Ci = Cinicial times ZinicialZi
Onde:
  • é a concentração no ponto
  • é a altura da suspensão no ponto
  • é a concentração inicial (58 g/kg)
  • é a altura inicial (50 cm)
Rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 8

Vamos calcular a concentração em cada ponto usando a fórmula acima:
Ci = 58 , g/kg times 50 , cmZi
Calculando para cada C = 58 times 5047 approx 61,7 , g/kg :
  1. C = 58 times 5040 = 72,5 , g/kg :
C = 58 times 5032 approx 90,6 , g/kg
  1. C = 58 times 5022 approx 131,8 , g/kg :
C = 58 times 5016 approx 181,25 , g/kg
  1. C = 58 times 5013,2 approx 219,7 , g/kg :
C = 58 times 5011,4 approx 254,4 , g/kg
  1. C = 58 times 5010 = 290 , g/kg :
C = 58 times 509 approx 322,2 , g/kg
  1. C = 58 times 508 = 362,5 , g/kg :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 9

Organizando as concentrações calculadas:
Concentração ( , g/kg)
0 50 58
2,5 47 61,7
5,5 40 72,5
10,5 32 90,6
20 22 131,8
24 16 181,25
35 13,2 219,7
45 11,4 254,4
56 10,0 290
60 9,0 322,2
120 8,0 362,5

Passo 10

Finalmente, a parte ©: calcular a área do decantador pelo método de Roberts.
O método de Roberts é uma técnica empírica usada para dimensionar decantadores com base na taxa de sedimentação dos sólidos e nas características do fluxo.
A fórmula geral do método de Roberts é:
A = Qv times k
onde:
  • é a área do decantador (m²)
  • é a vazão de entrada (m³/dia)
  • é a velocidade de sedimentação (m/dia)
  • é um fator empírico que depende do tipo de decantador (para simplificação, assumiremos se não especificado)
Primeiro, precisamos ajustar as unidades e usar a concentração final desejada.

Passo 11

Dados fornecidos:
  • Vazão de entrada: Q = 4 times 10^6 , I/dia = 4 times 10^6 , L/dia = 4 times 10^3 , m^3/dia
  • Concentração final de sólidos: vmédia = 1,2 + 2,33 + 1,6 + 1,05 + 1,5 + 0,25 + 0,18 + 0,13 + 0,25 + 0,016710 approx 8,094710 = 0,80947 , cm/min
Primeiro, convertamos a vazão de entrada de litros por dia para m³/dia:
vmédia = 0,80947 , cm/min times 1 , m100 , cm times 1440 , min/dia approx 11,66 , m/dia
Agora, precisamos determinar a velocidade de sedimentação ( ). Podemos usar a média das velocidades calculadas na parte (a). Observando que as velocidades diminuem com o tempo, podemos considerar uma velocidade média.
Vamos calcular a média:
é
Convertendo para m/dia:
é

Passo 12

Agora, aplicando a fórmula de Roberts:
A = Qv times k = 4 times 10^3 , m^3/dia11,66 , m/dia times 1 approx 343 , m^2
Portanto, a área necessária do decantador é aproximadamente 343 m².

Resposta

© A área do decantador pelo método de Roberts é aproximadamente 343 m².

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