Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico de uma função
que atende a várias condições de limites e valores específicos em certos pontos. Os conteúdos que vamos usar aqui são: limites de funções e comportamento de funções em pontos de descontinuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa cada limite dado e como representar isso no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites que a função
tem quando
se aproxima de 0 e de 4, tanto pela esquerda (
) quanto pela direita (
).
-
: Isso significa que, conforme se aproxima de 0 vindo da esquerda, os valores de estão se aproximando de 2. -
: Aqui, conforme se aproxima de 0 vindo da direita, os valores de estão se aproximando de 0. -
: Conforme se aproxima de 4 pela esquerda, tende a 3. -
: E conforme se aproxima de 4 pela direita, tende a 0.
Passo 3
Agora, vamos considerar os valores específicos da função nos pontos
e
:
-
: O valor da função em é exatamente 2. -
: O valor da função em é exatamente 1.
Passo 4
Com essas informações, podemos identificar que há descontinuidades do tipo salto nos pontos
e
. Isso significa que o valor da função nesses pontos não é o mesmo que os limites laterais.
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico:
-
Para
próximo de 0: - À esquerda de 0 (
), se aproxima de 2. - À direita de 0 (
), se aproxima de 0. - No ponto
, .
Isso resulta em um ponto sólido eme uma linha que se aproxima de 0 pela direita. - À esquerda de 0 (
-
Para
próximo de 4: - À esquerda de 4 (
), se aproxima de 3. - À direita de 4 (
), se aproxima de 0. - No ponto
, .
Aqui, temos um ponto sólido em, uma linha que se aproxima de 3 pela esquerda e outra que se aproxima de 0 pela direita. - À esquerda de 4 (
Passo 6
Vamos juntar tudo isso no gráfico:
- Desenhe o eixo
e . - Marque os pontos
e como pontos sólidos. - Para
, trace uma linha que se aproxima de conforme se aproxima de 0. - Para
, trace uma linha que se aproxima de conforme se aproxima de 0, e de conforme se aproxima de 4. - Para
, trace uma linha que se aproxima de conforme se afasta de 4.
Resposta
O gráfico da função
apresenta descontinuidades de salto nos pontos
e
, com os comportamentos descritos nos limites e valores dados.