Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico de uma função que atende a várias condições de limites e valores específicos em certos pontos. Os conteúdos que vamos usar aqui são: limites de funções e comportamento de funções em pontos de descontinuidade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa cada limite dado e como representar isso no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites que a função tem quando se aproxima de 0 e de 4, tanto pela esquerda ( ) quanto pela direita ( ).
  • : Isso significa que, conforme se aproxima de 0 vindo da esquerda, os valores de estão se aproximando de 2.
  • : Aqui, conforme se aproxima de 0 vindo da direita, os valores de estão se aproximando de 0.
  • : Conforme se aproxima de 4 pela esquerda, tende a 3.
  • : E conforme se aproxima de 4 pela direita, tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar os valores específicos da função nos pontos e :
  • : O valor da função em é exatamente 2.
  • : O valor da função em é exatamente 1.

Passo 4

Com essas informações, podemos identificar que há descontinuidades do tipo salto nos pontos e . Isso significa que o valor da função nesses pontos não é o mesmo que os limites laterais.

Passo 5

Vamos agora esboçar o gráfico:
  1. Para próximo de 0:
    • À esquerda de 0 ( ), se aproxima de 2.
    • À direita de 0 ( ), se aproxima de 0.
    • No ponto , .
    Isso resulta em um ponto sólido em e uma linha que se aproxima de 0 pela direita.
  2. Para próximo de 4:
    • À esquerda de 4 ( ), se aproxima de 3.
    • À direita de 4 ( ), se aproxima de 0.
    • No ponto , .
    Aqui, temos um ponto sólido em , uma linha que se aproxima de 3 pela esquerda e outra que se aproxima de 0 pela direita.

Passo 6

Vamos juntar tudo isso no gráfico:
  • Desenhe o eixo e .
  • Marque os pontos e como pontos sólidos.
  • Para , trace uma linha que se aproxima de conforme se aproxima de 0.
  • Para , trace uma linha que se aproxima de conforme se aproxima de 0, e de conforme se aproxima de 4.
  • Para , trace uma linha que se aproxima de conforme se afasta de 4.

Resposta

O gráfico da função apresenta descontinuidades de salto nos pontos e , com os comportamentos descritos nos limites e valores dados.

Exercícios relacionados

Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções:
Mostre que, seja é uma função continua em e derivável em , se para todo , então é constante.
A partir do gráfico da função a seguir, responda os itens e .
© Do gráfico de , identifique os intervalos nos quais é contínua.
Calcule sendo dada por
f)