Obtenha uma expressão para a velocidade do som em função de propriedades
,
e
. Estime a velocidade do som para o ar a
e
. Este resultado é dependente da pressão?
Considere que o ar comporta-se como gás ideal, e constitui-se em uma mistura de
de
e
de
cujo
é de
nessa temperatura.
Considere que o ar comporta-se como gás ideal, e constitui-se em uma mistura de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão para a velocidade do som usando propriedades como pressão §, volume (V), temperatura (T), e as capacidades térmicas a pressão constante (
) e a volume constante (
). Depois, vamos estimar a velocidade do som no ar a 25°C e 1 atm, e ver se essa velocidade depende da pressão. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do som em um gás depende de como as moléculas do gás respondem a compressões e expansões rápidas, como ondas sonoras. A fórmula geral para a velocidade do som (
) em um gás é dada por:
Aqui,
é a razão entre as capacidades térmicas (
),
é a constante dos gases ideais,
é a temperatura absoluta, e
é a massa molar do gás.
Passo 3
Sabemos que a razão das capacidades térmicas é:
Além disso, a constante dos gases ideais é relacionada a
e
por:
Podemos reescrever
em termos de
e
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da velocidade do som:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos agora calcular a velocidade do som para o ar nas condições dadas: 25°C e 1 atm. Primeiro, precisamos converter a temperatura para Kelvin:
A constante dos gases ideais
é aproximadamente
. A massa molar do ar (
) pode ser calculada considerando a mistura de 80% N₂ e 20% O₂.
Passo 6
Calculando a massa molar do ar:
Convertendo para kg/mol:
Passo 7
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da velocidade do som:
Calculando o denominador:
Passo 8
Continuando o cálculo:
Resposta
A velocidade do som no ar a 25°C e 1 atm é aproximadamente
. Além disso, essa velocidade não depende da pressão, já que a pressão cancela na equação final quando consideramos o comportamento do gás ideal.