Obtenha uma expressão para a velocidade do som em função de propriedades P V T,
CP e CV. Estime a velocidade do som para o ar a 25^circ C e 1,0 atm. Este resultado é dependente da pressão?
Considere que o ar comporta-se como gás ideal, e constitui-se em uma mistura de 80 % de N2 e 20 % de O2 cujo CP é de 29,22 J cdot mol^-1 cdot K^-1 nessa temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão para a velocidade do som usando propriedades como pressão §, volume (V), temperatura (T), e as capacidades térmicas a pressão constante ( CP) e a volume constante ( CV). Depois, vamos estimar a velocidade do som no ar a 25°C e 1 atm, e ver se essa velocidade depende da pressão. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica e propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do som em um gás depende de como as moléculas do gás respondem a compressões e expansões rápidas, como ondas sonoras. A fórmula geral para a velocidade do som ( v) em um gás é dada por:
v = raizgamma cdot R cdot TM
Aqui, gamma é a razão entre as capacidades térmicas ( CP/CV), R é a constante dos gases ideais, T é a temperatura absoluta, e M é a massa molar do gás.

Passo 3

Sabemos que a razão das capacidades térmicas é:
gamma = CPCV
Além disso, a constante dos gases ideais é relacionada a CP e CV por:
R = CP - CV
Podemos reescrever gamma em termos de CP e R:
gamma = CPCP - R

Passo 4

Agora, substituímos gamma na fórmula da velocidade do som:
v = raizCPCP - R cdot R cdot TM
Simplificando, temos:
v = raizCP cdot R cdot TM (CP - R)

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade do som para o ar nas condições dadas: 25°C e 1 atm. Primeiro, precisamos converter a temperatura para Kelvin:
T = 25°C + 273,15 = 298,15 , K
A constante dos gases ideais R é aproximadamente 8,314 , J/(mol·K). A massa molar do ar ( M) pode ser calculada considerando a mistura de 80% N₂ e 20% O₂.

Passo 6

Calculando a massa molar do ar:
M = 0,80 times MN2 + 0,20 times MO2 = 0,80 times 28,02 , g/mol + 0,20 times 32,00 , g/mol = 28,84 , g/mol
Convertendo para kg/mol:
M = 0,02884 , kg/mol

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da velocidade do som:
v = raiz29,22 times 8,314 times 298,150,02884 times (29,22 - 8,314)
Calculando o denominador:
CP - R = 29,22 - 8,314 = 20,906 , J/(mol·K)

Passo 8

Continuando o cálculo:
v = raiz29,22 times 8,314 times 298,150,02884 times 20,906 = raiz72553,50,603 = raiz120351,8 approx 347,6 , m/s

Resposta

A velocidade do som no ar a 25°C e 1 atm é aproximadamente 348 , m/s. Além disso, essa velocidade não depende da pressão, já que a pressão cancela na equação final quando consideramos o comportamento do gás ideal.

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