Entropia é uma medida de desordem em escala molecular. Pela equação de Boltzmann, a entropia de uma sistema é dada por,
onde
é chamada de constante de Boltzmann, sendo relacionada à constante do gás
e ao número de Avogrado
, e
definida como o número de microestados acessíveis à uma dada energia do sistema, isto é, o número total de configurações das moléculas constituintes do sistema com uma dada energia E. Utilizando a equação anterior, mostre que a variação de entropia para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal é dada por
e justifique se esse processo deve ser espontâneo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre entropia, que é uma medida de desordem das moléculas num sistema. A gente vai usar a equação de Boltzmann,
, para calcular a variação de entropia (
) numa expansão isotérmica reversível de um gás ideal. Além disso, vamos verificar se esse processo é espontâneo. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de termodinâmica como entropia, microestados e processos reversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa expansão isotérmica reversível de um gás ideal, a temperatura (
) permanece constante. A equação de Boltzmann relaciona a entropia (
) com o número de microestados (
) acessíveis ao sistema:
.
Passo 3
Quando o gás se expande, o volume aumenta, e isso aumenta o número de microestados (
) possíveis, pois as moléculas têm mais espaço para se distribuir. Queremos achar a variação de entropia,
, que é a diferença entre a entropia final (
) e a entropia inicial (
).
Passo 4
Usando a equação de Boltzmann, temos:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 5
Sabemos que
, onde
é a constante dos gases e
é o número de Avogadro. Portanto, podemos reescrever:
Passo 6
Em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o número de microestados dobra, ou seja,
. Substituindo isso na equação:
Passo 7
Agora, multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Então, mostramos que a variação de entropia é
.
Passo 8
Para saber se o processo é espontâneo, analisamos o sinal da variação de energia livre de Gibbs (
) ou a segunda lei da termodinâmica. Como a entropia aumenta (
) e não há aumento na energia livre devido à reversibilidade do processo, o processo é espontâneo no sentido de aumento da desordem.
Resposta
A variação de entropia para a expansão isotérmica reversível do gás ideal é
, e esse processo é espontâneo.