Entropia é uma medida de desordem em escala molecular. Pela equação de Boltzmann, a entropia de uma sistema é dada por,
S=kB ln Omega
onde kB é chamada de constante de Boltzmann, sendo relacionada à constante do gás (R) e ao número de Avogrado (NA) kB=R / NA=1.380 times 10^-23 J K^-1, e Omega definida como o número de microestados acessíveis à uma dada energia do sistema, isto é, o número total de configurações das moléculas constituintes do sistema com uma dada energia E. Utilizando a equação anterior, mostre que a variação de entropia para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal é dada por De e justifique se esse processo deve ser espontâneo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre entropia, que é uma medida de desordem das moléculas num sistema. A gente vai usar a equação de Boltzmann, S = kB ln Omega, para calcular a variação de entropia ( De) numa expansão isotérmica reversível de um gás ideal. Além disso, vamos verificar se esse processo é espontâneo. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de termodinâmica como entropia, microestados e processos reversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa expansão isotérmica reversível de um gás ideal, a temperatura ( T) permanece constante. A equação de Boltzmann relaciona a entropia ( S) com o número de microestados ( Omega) acessíveis ao sistema: S = kB ln Omega.

Passo 3

Quando o gás se expande, o volume aumenta, e isso aumenta o número de microestados ( Omega) possíveis, pois as moléculas têm mais espaço para se distribuir. Queremos achar a variação de entropia, De, que é a diferença entre a entropia final ( Sfinal) e a entropia inicial ( Sinicial).

Passo 4

Usando a equação de Boltzmann, temos:
De
Isso pode ser simplificado para:
De

Passo 5

Sabemos que kB = RNA, onde R é a constante dos gases e NA é o número de Avogadro. Portanto, podemos reescrever:
De

Passo 6

Em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o número de microestados dobra, ou seja, Omegafinal = 2 Omegainicial. Substituindo isso na equação:
De

Passo 7

Agora, multiplicando ambos os lados por NA para simplificar:
De
Então, mostramos que a variação de entropia é De.

Passo 8

Para saber se o processo é espontâneo, analisamos o sinal da variação de energia livre de Gibbs ( De) ou a segunda lei da termodinâmica. Como a entropia aumenta ( De 0) e não há aumento na energia livre devido à reversibilidade do processo, o processo é espontâneo no sentido de aumento da desordem.

Resposta

A variação de entropia para a expansão isotérmica reversível do gás ideal é De, e esse processo é espontâneo.

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