Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de 60 m / s. Três segundos depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de 80 m / s. Considerando g=10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, calcule:
(b) as velocidades de cada esfera no momento do encontro. Exprima os resultados em m / s e km/h.
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Duvidas pedras descrevem trajetórias paralelas ao serem lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo instante. A primeira é lançada com velocidade de 20 m / s de uma plataforma situada à altura de 20 m e a segunda é lançada a partir do solo com velocidade de 30 m / s. Adotando g=10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, determine:
(a) o instante em que as pedras se cruzam;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas esferas sendo lançadas verticalmente para cima. A primeira é lançada com uma velocidade inicial de 60 , m/s e, três segundos depois, a segunda é lançada na mesma direção e sentido com uma velocidade inicial de 80 , m/s. Queremos descobrir qual será a velocidade de cada esfera no exato momento em que elas se encontram. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente variado, já que a aceleração devido à gravidade está agindo sobre as esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as equações que descrevem a posição e a velocidade de cada esfera ao longo do tempo. Para movimento vertical sob a gravidade, a posição $ y(t) $ e a velocidade $ v(t) $ são dadas por:
y(t)
v(t)
onde:
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( y(t) = v0 t - 12 g t^2 ),
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Vamos chamar de $ t $ o tempo decorrido desde o lançamento da primeira esfera até o encontro. A segunda esfera é lançada 3 segundos depois, então o tempo que ela está em movimento será $ t - 3 $.
As posições das duas esferas no momento do encontro devem ser iguais. Então, igualamos as equações de posição:
t
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $.

Passo 4

Simplificando a equação:
60t - 5t^2 = 80(t - 3) - 5(t - 3)^2
Expanda os termos:
60t - 5t^2 = 80t - 240 - 5(t^2 - 6t + 9)
60t - 5t^2 = 80t - 240 - 5t^2 + 30t - 45
60t - 5t^2 = 110t - 285 - 5t^2
Agora, cancelamos $ -5t^2 $ dos dois lados:
-5t^2
60t = 110t - 285
-50t = -285

Passo 5

Agora que temos o tempo $ t = 5.7 , s $, podemos calcular as velocidades de cada esfera no momento do encontro usando a equação da velocidade:
Para a primeira esfera:
t = 5.7 , s
Para a segunda esfera, que foi lançada 3 segundos depois, o tempo em movimento é $ 5.7 - 3 = 2.7 , s $:
v1(t) = 60 - 10 times 5.7 = 60 - 57 = 3 , m/s
Agora, vamos converter essas velocidades de 5.7 - 3 = 2.7 , s para v2(t) = 80 - 10 times 2.7 = 80 - 27 = 53 , m/s . Sabemos que:
m/s
Então:
Para a primeira esfera:
km/h
Para a segunda esfera:
1 , m/s = 3.6 , km/h

Resposta

No momento do encontro, as velocidades são:
  • Primeira esfera: 3 , m/s ou 10.8 , km/h
  • Segunda esfera: 53 , m/s ou 190.8 , km/h

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