Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de
. Três segundos depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de
. Considerando
e desprezando a resistência do ar, calcule:
(b) as velocidades de cada esfera no momento do encontro. Exprima os resultados em
e km/h.
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Duvidas pedras descrevem trajetórias paralelas ao serem lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo instante. A primeira é lançada com velocidade de
de uma plataforma situada à altura de 20 m e a segunda é lançada a partir do solo com velocidade de
. Adotando
desprezando a resistência do ar, determine:
(a) o instante em que as pedras se cruzam;
(b) as velocidades de cada esfera no momento do encontro. Exprima os resultados em
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Duvidas pedras descrevem trajetórias paralelas ao serem lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo instante. A primeira é lançada com velocidade de
(a) o instante em que as pedras se cruzam;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas esferas sendo lançadas verticalmente para cima. A primeira é lançada com uma velocidade inicial de
e, três segundos depois, a segunda é lançada na mesma direção e sentido com uma velocidade inicial de
. Queremos descobrir qual será a velocidade de cada esfera no exato momento em que elas se encontram. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente variado, já que a aceleração devido à gravidade está agindo sobre as esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as equações que descrevem a posição e a velocidade de cada esfera ao longo do tempo. Para movimento vertical sob a gravidade, a posição $ y(t) $ e a velocidade $ v(t) $ são dadas por:
onde:
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (
), - $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos chamar de $ t $ o tempo decorrido desde o lançamento da primeira esfera até o encontro. A segunda esfera é lançada 3 segundos depois, então o tempo que ela está em movimento será $ t - 3 $.
As posições das duas esferas no momento do encontro devem ser iguais. Então, igualamos as equações de posição:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $.
Passo 4
Simplificando a equação:
Expanda os termos:
Agora, cancelamos $ -5t^2 $ dos dois lados:
Passo 5
Agora que temos o tempo $ t = 5.7 , s $, podemos calcular as velocidades de cada esfera no momento do encontro usando a equação da velocidade:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera, que foi lançada 3 segundos depois, o tempo em movimento é $ 5.7 - 3 = 2.7 , s $:
Agora, vamos converter essas velocidades de
para
. Sabemos que:
Então:
Para a primeira esfera:
Para a segunda esfera:
Resposta
No momento do encontro, as velocidades são:
- Primeira esfera:
ou - Segunda esfera:
ou