4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a soma infinita
. Essa questão está relacionada a séries geométricas, que são sequências onde cada termo é uma constante vezes o anterior. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma série geométrica infinita e aplicar essa fórmula a partir do termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Note que
pode ser reescrito como
. Então, nossa soma fica:
Passo 3
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aqui,
, que satisfaz
, então a soma converge.
Passo 4
No nosso caso, a soma começa em
em vez de
. Para ajustar isso, podemos calcular a soma completa de
a
e depois subtrair os termos que não queremos (quando
e
).
Primeiro, a soma completa:
Passo 5
Agora, vamos subtrair os dois primeiros termos (
e
):
Então, a soma dos dois primeiros termos é:
Passo 6
Agora, subtraímos isso da soma completa para obter a soma a partir de
:
Passo 7
Vamos calcular a diferença:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.