4.) sumn=2^infty 5^n7^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita . Essa questão está relacionada a séries geométricas, que são sequências onde cada termo é uma constante vezes o anterior. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma série geométrica infinita e aplicar essa fórmula a partir do termo .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Note que sumn=2^infty (57)^n pode ser reescrito como . Então, nossa soma fica:

Passo 3

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^infty r^n = 11 - r quando |r| < 1
Aqui, , que satisfaz , então a soma converge.

Passo 4

No nosso caso, a soma começa em sumn=0^infty (57)^n = 11 - 57 = 127 = 72 em vez de . Para ajustar isso, podemos calcular a soma completa de a e depois subtrair os termos que não queremos (quando e ).
Primeiro, a soma completa:

Passo 5

Agora, vamos subtrair os dois primeiros termos ( (57)^0 = 1 e (57)^1 = 57 ):
1 + 57 = 127
Então, a soma dos dois primeiros termos é:

Passo 6

Agora, subtraímos isso da soma completa para obter a soma a partir de sumn=2^infty (57)^n = 72 - 127 :

Passo 7

Vamos calcular a diferença:
72 - 127 = 4914 - 2414 = 2514

Resposta

A soma infinita é igual a .

Exercícios relacionados