Enunciado questão 3
A equação diferencial dada no i-ésimo ponto de uma malha de 11 nós é dado pela equação
onde
Sabendo-se que as condições de valor de contorno atendem
Usando a fórmula de diferenças finitas central de ordem dois com passo h e aplicando as condições de contorno, a equação discretiza para os nós internos, denotando que fica:
(a)
(b)
©
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que o exercício está pedindo! Temos uma equação diferencial que descreve como uma função se comporta em um intervalo de a . A equação é:
Além disso, temos condições de contorno que dizem que:
Nosso objetivo é discretizar essa equação usando a fórmula de diferenças finitas central de segunda ordem com um passo , e então comparar com as opções dadas para encontrar a equação discretizada correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa discretizar uma equação diferencial. Basicamente, estamos transformando a equação contínua em uma equação que funciona em pontos específicos (nós) no intervalo, facilitando a resolução numérica.
Para isso, usamos diferenças finitas para aproximar as derivadas. No caso da segunda derivada , a fórmula de diferenças finitas central de segunda ordem é:
Onde:
  • é o valor de no nó anterior,
  • é o valor no nó atual,
  • é o valor no próximo nó,
  • é o passo entre os nós.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa equação diferencial original:
Vamos simplificar isso:
  1. Multiplicamos todos os termos por para eliminar o denominador:
  1. Distribuímos o sinal negativo:
  1. Agrupamos termos semelhantes:
  1. Fatoramos :

Passo 4

Agora, vamos comparar essa equação discretizada com as opções fornecidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Nossa equação discretizada ficou:
Comparando com as opções, vemos que a opção (a) é a mais próxima, exceto que na nossa derivação temos enquanto na opção (a) aparece . Isso pode ser um erro de digitação nas opções, mas seguindo a metodologia correta, a forma geral da discretização corresponde à opção (a).

Resposta

A opção correta é a (a):

Exercícios relacionados

Dada então determine . (1.5pts)
Enuncie e use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação tem, no mínimo, uma solução no intervalo . (1.5pts)
A simulação numérica do movimento de um fluido é realizada utilizando-se as equações de conservação de massa, energia, quantidade de movimento, entre outras. Considere um estudo que utiliza simulação computacional para analisar o escoamento de um fluido ao redor de um automóvel. Nesse contexto, pode-se afirmar que, em regime:
(a) (a) transiente, com incremento grande de tempo, é possível capturar oscilações de alta frequência;
(b) (b) permanente, com incremento variado de tempo, é possível capturar oscilações de todas as faixas de frequência;
© permanente, com incremento pequeno de tempo, é possível capturar oscilações de alta frequência;
(d) permanente, com incremento grande de tempo, é possível capturar oscilações de baixa frequência;
(e) (e) transiente, com incremento pequeno de tempo, é possível capturar oscilações de alta frequência
Enunciado questão 2
A equação da condução de calor de Fourier com condutividade térmica consante e termo fonte de geração de calor , obtida pelo métodos das diferenças finitas centrais, pode ser expressa como:
Na equação nodal númerica:
Em uma parede de 10 mm de espessura com , e uma taxa de geração de calor interna por unidade de volume de , o termo para os nós interno da parede com 6 nós, a partir do nó 2 até o nó , vale
(a) 16
(b) 20
© 18
(d) 15
(e) 22