Enunciado questão 3
A equação diferencial dada no i-ésimo ponto de uma malha de 11 nós é dado pela equação
onde
Sabendo-se que as condições de valor de contorno atendem
Usando a fórmula de diferenças finitas central de ordem dois com passo h e aplicando as condições de contorno, a equação discretiza para os nós internos, denotando que
fica:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
A equação diferencial dada no i-ésimo ponto de uma malha de 11 nós é dado pela equação
Sabendo-se que as condições de valor de contorno atendem
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma geral no que o exercício está pedindo! Temos uma equação diferencial que descreve como uma função
se comporta em um intervalo de
a
. A equação é:
Além disso, temos condições de contorno que dizem que:
Nosso objetivo é discretizar essa equação usando a fórmula de diferenças finitas central de segunda ordem com um passo
, e então comparar com as opções dadas para encontrar a equação discretizada correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa discretizar uma equação diferencial. Basicamente, estamos transformando a equação contínua em uma equação que funciona em pontos específicos (nós) no intervalo, facilitando a resolução numérica.
Para isso, usamos diferenças finitas para aproximar as derivadas. No caso da segunda derivada
, a fórmula de diferenças finitas central de segunda ordem é:
Onde:
-
é o valor de no nó anterior, -
é o valor no nó atual, -
é o valor no próximo nó, -
é o passo entre os nós.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação na nossa equação diferencial original:
Vamos simplificar isso:
- Multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
- Distribuímos o sinal negativo:
- Agrupamos termos semelhantes:
- Fatoramos
:
Passo 4
Agora, vamos comparar essa equação discretizada com as opções fornecidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Nossa equação discretizada ficou:
Comparando com as opções, vemos que a opção (a) é a mais próxima, exceto que na nossa derivação temos
enquanto na opção (a) aparece
. Isso pode ser um erro de digitação nas opções, mas seguindo a metodologia correta, a forma geral da discretização corresponde à opção (a).
Resposta
A opção correta é a (a):