Enuncie e use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação
tem, no mínimo, uma solução no intervalo
. (1.5pts)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação
e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma solução no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de soluções de equações contínuas dentro de certos intervalos.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
Agora, queremos encontrar
tal que
.
Passo 3
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e
é qualquer número entre
e
, então existe pelo menos um número
em
tal que
. No nosso caso, queremos que
.
Passo 4
Primeiro, avaliamos
nos extremos do intervalo
:
- Para
: - Para
:
Passo 5
Observamos que
e
. O valor zero está entre
e
.
Passo 6
Como a função
é um polinômio, ela é contínua em todo o intervalo
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
está entre
e
, existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Resposta
Portanto, a equação
tem, no mínimo, uma solução no intervalo
pelo Teorema do Valor Intermediário.