Enuncie e use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação 2 x^4-8 x^3+5 x=1 tem, no mínimo, uma solução no intervalo (2,4). (1.5pts)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma solução no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de soluções de equações contínuas dentro de certos intervalos.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma que tudo fique igual a zero:
f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 5x - 1
Agora, queremos encontrar tal que .

Passo 3

O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo e é qualquer número entre e , então existe pelo menos um número em tal que . No nosso caso, queremos que .

Passo 4

Primeiro, avaliamos f(2) = 2(2)^4 - 8(2)^3 + 5(2) - 1 = 2(16) - 8(8) + 10 - 1 = 32 - 64 + 10 - 1 = -23 nos extremos do intervalo f(4) = 2(4)^4 - 8(4)^3 + 5(4) - 1 = 2(256) - 8(64) + 20 - 1 = 512 - 512 + 20 - 1 = 19 :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Observamos que e . O valor zero está entre e .

Passo 6

Como a função é um polinômio, ela é contínua em todo o intervalo . Pelo Teorema do Valor Intermediário, como está entre e , existe pelo menos um valor em tal que .

Resposta

Portanto, a equação tem, no mínimo, uma solução no intervalo pelo Teorema do Valor Intermediário.

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