Enuncie e demonstre o Teorema de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa enunciar e demonstrar o Teorema de Lagrange. Esse teorema faz parte da teoria dos grupos, que é um ramo da matemática que estuda estruturas chamadas grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, um subgrupo e como esses elementos se relacionam dentro do teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo quatro regras básicas: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros com a operação de adição.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre subgrupos. Um subgrupo é simplesmente um grupo que está contido dentro de outro grupo. Ou seja, se temos um grupo , um subgrupo de deve satisfazer todas as propriedades de grupo dentro de .

Passo 4

O próximo conceito é o de coset (ou classe lateral). Dado um subgrupo de e um elemento em , o coset à esquerda de por é o conjunto . Todo coset tem o mesmo número de elementos que .

Passo 5

Com esses conceitos em mente, vamos enunciar o Teorema de Lagrange: “Em um grupo finito , a ordem (número de elementos) de qualquer subgrupo de divide a ordem de . Além disso, o número de cosets de em é igual ao quociente entre as ordens de e , ou seja, .”

Passo 6

Agora, vamos à demonstração do teorema. Primeiro, note que todos os cosets de em têm o mesmo número de elementos que . Além disso, esses cosets são disjuntos e cobrem todo o grupo .

Passo 7

Como os cosets são disjuntos e cobrem , podemos dividir em um número finito de cosets, digamos cosets. Então, a ordem de é igual a vezes a ordem de : .

Passo 8

Isso mostra que divide , já que é múltiplo de . Além disso, o número de cosets é exatamente , que é o índice .

Resposta

Então, concluímos que em qualquer grupo finito , a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem de , e o número de cosets de é igual a . Esse é o Teorema de Lagrange!

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