Enuncie e demonstre o Teorema de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa enunciar e demonstrar o Teorema de Lagrange. Esse teorema faz parte da teoria dos grupos, que é um ramo da matemática que estuda estruturas chamadas grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, um subgrupo e como esses elementos se relacionam dentro do teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo quatro regras básicas: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros com a operação de adição.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre subgrupos. Um subgrupo é simplesmente um grupo que está contido dentro de outro grupo. Ou seja, se temos um grupo
, um subgrupo
de
deve satisfazer todas as propriedades de grupo dentro de
.
Passo 4
O próximo conceito é o de coset (ou classe lateral). Dado um subgrupo
de
e um elemento
em
, o coset à esquerda de
por
é o conjunto
. Todo coset tem o mesmo número de elementos que
.
Passo 5
Com esses conceitos em mente, vamos enunciar o Teorema de Lagrange: “Em um grupo finito
, a ordem (número de elementos) de qualquer subgrupo
de
divide a ordem de
. Além disso, o número de cosets de
em
é igual ao quociente entre as ordens de
e
, ou seja,
.”
Passo 6
Agora, vamos à demonstração do teorema. Primeiro, note que todos os cosets de
em
têm o mesmo número de elementos que
. Além disso, esses cosets são disjuntos e cobrem todo o grupo
.
Passo 7
Como os cosets são disjuntos e cobrem
, podemos dividir
em um número finito de cosets, digamos
cosets. Então, a ordem de
é igual a
vezes a ordem de
:
.
Passo 8
Isso mostra que
divide
, já que
é múltiplo de
. Além disso, o número de cosets
é exatamente
, que é o índice
.
Resposta
Então, concluímos que em qualquer grupo finito
, a ordem de qualquer subgrupo
divide a ordem de
, e o número de cosets de
é igual a
. Esse é o Teorema de Lagrange!
Exercícios relacionados
Defina: (d) Grupo cíclico.
Defina: © Subgrupo.
Calcule
, onde
, orientada no sentido anti horário.
Explique a diferença entre um método EXPLÍCITO e um método IMPLÍCITO.