Defina: (d) Grupo cíclico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você pediu é para definir o que é um grupo cíclico. Isso está dentro da matemática chamada Teoria dos Grupos, que faz parte de uma área maior chamada Álgebra Abstrata. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um grupo e o que significa ser cíclico dentro desse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto de elementos junto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo quatro propriedades básicas: fechamento, associatividade, elemento identidade e elemento inverso. Pense num grupo como uma coleção de coisas que, ao combiná-las de certa maneira, sempre dá pra encontrar outro elemento do mesmo grupo.

Passo 3

Agora, o que significa ser cíclico? A palavra “cíclico” vem de “ciclo”, que sugere algo que se repete. No contexto de grupos, um grupo cíclico é aquele que pode ser gerado a partir de um único elemento. Isso quer dizer que todos os elementos do grupo podem ser obtidos repetindo a operação com esse elemento inicial.

Passo 4

Vamos formalizar isso. Um grupo é chamado de cíclico se existe um elemento em tal que todo elemento de pode ser escrito como , onde é um número inteiro. Esse elemento é chamado de gerador do grupo. Em símbolos, dizemos que .

Passo 5

Por exemplo, considere o conjunto dos inteiros com a operação de soma. Esse é um grupo cíclico porque qualquer inteiro pode ser obtido somando 1 (-1, se for subtraindo). Aqui, o gerador é 1, já que .

Resposta

Um grupo cíclico é um grupo no qual existe um elemento (chamado de gerador) tal que todo elemento de pode ser expresso como uma potência de . Formalmente, é cíclico se .

Exercícios relacionados

Defina: © Subgrupo.
Defina: (a) Grupo.
Enuncie e demonstre o Teorema de Lagrange.
Calcule , onde , orientada no sentido anti horário.