Defina: (d) Grupo cíclico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você pediu é para definir o que é um grupo cíclico. Isso está dentro da matemática chamada Teoria dos Grupos, que faz parte de uma área maior chamada Álgebra Abstrata. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um grupo e o que significa ser cíclico dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto de elementos junto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo quatro propriedades básicas: fechamento, associatividade, elemento identidade e elemento inverso. Pense num grupo como uma coleção de coisas que, ao combiná-las de certa maneira, sempre dá pra encontrar outro elemento do mesmo grupo.
Passo 3
Agora, o que significa ser cíclico? A palavra “cíclico” vem de “ciclo”, que sugere algo que se repete. No contexto de grupos, um grupo cíclico é aquele que pode ser gerado a partir de um único elemento. Isso quer dizer que todos os elementos do grupo podem ser obtidos repetindo a operação com esse elemento inicial.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Um grupo
é chamado de cíclico se existe um elemento
em
tal que todo elemento de
pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro. Esse elemento
é chamado de gerador do grupo. Em símbolos, dizemos que
.
Passo 5
Por exemplo, considere o conjunto dos inteiros
com a operação de soma. Esse é um grupo cíclico porque qualquer inteiro pode ser obtido somando 1 (-1, se for subtraindo). Aqui, o gerador é 1, já que
.
Resposta
Um grupo cíclico é um grupo
no qual existe um elemento
(chamado de gerador) tal que todo elemento de
pode ser expresso como uma potência de
. Formalmente,
é cíclico se
.
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Defina: © Subgrupo.
Defina: (a) Grupo.
Enuncie e demonstre o Teorema de Lagrange.
Calcule
, onde
, orientada no sentido anti horário.