Equação Exata:
c) Resolva a

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo exata. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar se a nossa EDO é exata. Uma equação exata tem a forma onde existe uma função tal que e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão:
Aqui, identificamos:
Para verificar se é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Uma estratégia comum é procurar um fator integrante que seja função de ou . Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de , ou seja, .
Multiplicamos a equação original por :
Agora, queremos que a nova equação seja exata. Isso significa que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Para simplificar, assumimos que é uma função que apenas depende de , então o termo envolvendo precisa desaparecer. Isso nos leva a:
Essa é uma equação diferencial para .

Passo 4

Resolvendo a equação , temos:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para :
Onde é uma constante. Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 5

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 6

Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando, percebemos que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante pois ela será absorvida na solução geral.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)
Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo e mostre que . Substitua obtida no item ) na equação exata, e conclua que constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre e para que seja solução da equação.
Enuncie o Teorema de Clairaut.
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial