Equação Exata:
c) Resolva a
c) Resolva a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo exata. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar se a nossa EDO é exata. Uma equação exata tem a forma
onde existe uma função
tal que
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão:
Aqui, identificamos:
Para verificar se é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Uma estratégia comum é procurar um fator integrante que seja função de
ou
. Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
, ou seja,
.
Multiplicamos a equação original por
:
Agora, queremos que a nova equação seja exata. Isso significa que:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Para simplificar, assumimos que
é uma função que apenas depende de
, então o termo envolvendo
precisa desaparecer. Isso nos leva a:
Essa é uma equação diferencial para
.
Passo 4
Resolvendo a equação
, temos:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para
:
Onde
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 5
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando, percebemos que
, então
é uma constante. Podemos ignorar essa constante pois ela será absorvida na solução geral.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre uma fómula para a função inversa.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Regra da Cadeia e Equação Exata.
c) Sendo e
mostre que
. Substitua
obtida no item
) na equação exata,
e conclua que
constante estabelece, de maneira implícita, a relação entre
e
para que
seja solução da equação.
c) Sendo
Enuncie o Teorema de Clairaut.
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial