a) Enuncie o teorema de existência e unicidade de solução de problemas de valor inicial de equações de primeira ordem lineares.
b) Considere y1 e y2 duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear. É possível haver intersecção entre os gráficos de y1 e y2? Justifique sua resposta.
c) Prove (sem resolver o problema) que no intervalo 0 < t < 3, certamente, existe uma única solução do PVI
(t-3) y' + (ln t) y = 2 t, y(1) = 2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que pede o exercício. Temos três partes:
a) Enunciar o teorema de existência e unicidade para equações diferenciais de primeira ordem lineares.
b) Analisar se duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear podem se cruzar nos gráficos.
c) Demonstrar que existe uma solução única para um problema de valor inicial específico no intervalo .
Para resolver essas questões, precisamos entender o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de primeira ordem lineares, além de conceitos de soluções únicas e propriedades das soluções dessas equações.

Passo 2

Parte a): Vamos começar enunciando o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema é fundamental para garantir que, sob certas condições, uma equação diferencial de primeira ordem linear possui uma única solução que passa por um ponto inicial específico.

Passo 3

Parte b): Agora, vamos considerar duas soluções distintas, e , de uma mesma equação diferencial de primeira ordem linear. A pergunta é se os gráficos dessas duas soluções podem se intersectar.

Passo 4

Parte c): Por fim, precisamos provar que, no intervalo , existe uma única solução para o problema de valor inicial dado por:
Sem resolver a equação, vamos verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade para esse caso específico.

Passo 5

Agora que identificamos as partes, vamos aprofundar em cada uma delas, explicando a teoria necessária e aplicando-a para chegar às respostas.

Resposta

a) Teorema de Existência e Unicidade:
O teorema afirma que, para uma equação diferencial de primeira ordem linear da forma
se as funções e são contínuas em um intervalo aberto que contém o ponto inicial , então existe uma e somente uma solução que passa por esse ponto inicial.
b) Interseção de Gráficos de Soluções Distintas:
Não, não é possível que os gráficos de e , duas soluções distintas de uma equação diferencial de primeira ordem linear, se intersectem. Isso porque, pelo teorema de unicidade, duas soluções que se encontram em um ponto e compartilham o mesmo comportamento a partir daí devem ser a mesma solução, o que contraria a suposição de que são distintas.
c) Prova de Existência e Unicidade no Intervalo :
Para o problema dado:
Podemos reescrever a equação na forma padrão:
No intervalo :
  • A função é contínua porque é contínua para e .
  • A função também é contínua no mesmo intervalo.
Como ambas as funções são contínuas em e contornamos o ponto , que está fora do intervalo considerado, o teorema de existência e unicidade garante que existe uma única solução que passa pelo ponto com .

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