Prove por varepsilon e de que lim x 0^+ raizx=0.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos provar que o limite de quando se aproxima de pela direita é igual a . Para isso, vamos usar a definição de limite utilizando e . Isso envolve entender como relacionar essas duas variáveis para garantir que fique dentro de uma faixa definida por .

Passo 2

Segundo a definição de limite:
limx 0^+ raizx = 0
Isso significa que, para todo , devemos encontrar um tal que se , então .

Passo 3

Vamos manipular a inequação x < varepsilon^2 para encontrar em termos de . Elevando ambos os lados ao quadrado (já que todos os valores são positivos), temos:
Isso nos mostra que se escolhermos , a condição garantirá que .

Passo 4

Portanto, para qualquer raizx < varepsilon , podemos definir . Assim, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite que queríamos demonstrar.

Resposta

Concluímos que .

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