Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é super importante na matemática porque conecta as ideias de derivada e integral. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela basicamente diz que se você tiver uma função contínua
em um intervalo
, e definir uma nova função
que é a integral de
de
até
, então
é diferenciável nesse intervalo, e a derivada de
é exatamente
. Em fórmula, isso fica:
Isso mostra como a operação de integração e derivação são inversas uma da outra.
Passo 3
Agora, vamos para a parte 2 do teorema. Ela nos ajuda a calcular integrais definidas de forma mais prática. Se você tiver uma função
contínua em
e
é uma antiderivada de
(ou seja,
), então a integral de
de
até
é dada por:
Isso facilita muito o cálculo de integrais porque só precisamos encontrar uma antiderivada de
.
Resposta
O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que:
-
Primeira Parte: Se
é contínua em e , então é diferenciável em e . -
Segunda Parte: Se
é contínua em e é uma antiderivada de , então:
Exercícios relacionados
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
.
Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
.
Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo:
Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: