Usando substituição, calcule as integrais abaixo: .

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve cálculo de integrais utilizando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a expressão e facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos a integral . Aqui, temos uma função composta . Para simplificar, vamos usar a substituição onde deixamos o interior da função composta como nossa nova variável.

Passo 3

Vamos definir . Assim, precisamos encontrar o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos permite substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais simples de resolver.

Passo 5

Integrando com respeito a :
Onde é a constante de integração. Mas, como estamos lidando com uma integral definida, vamos substituir os limites de integração.

Passo 6

Precisamos ajustar os limites de integração para a variável . Quando :
Quando :
Portanto, os novos limites de integração para são de a .

Passo 7

Aplicando os limites na antiderivada:
Sabemos que , então substituímos:

Resposta

A integral é igual a .

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