Usando substituição, calcule as integrais abaixo: integral0^pi / 2 cos x sen(sen x) dx.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^pi / 2 cos x sin(sin x) , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais utilizando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a expressão e facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos a integral integral cos x sin(sin x) , dx. Aqui, temos uma função composta sin(sin x). Para simplificar, vamos usar a substituição onde deixamos o interior da função composta como nossa nova variável.

Passo 3

Vamos definir u = sin x. Assim, precisamos encontrar o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = cos x , dx
Isso nos permite substituir cos x , dx por du na integral.

Passo 4

Substituindo u = sin x e du = cos x , dx na integral original, temos:
integral cos x sin(sin x) , dx = integral sin u , du
Agora, a integral está em termos de u, o que é mais simples de resolver.

Passo 5

Integrando sin u com respeito a u:
integral sin u , du = -cos u + C
Onde C é a constante de integração. Mas, como estamos lidando com uma integral definida, vamos substituir os limites de integração.

Passo 6

Precisamos ajustar os limites de integração para a variável u. Quando x = 0:
u = sin 0 = 0
Quando x = pi/2:
u = sin(pi2) = 1
Portanto, os novos limites de integração para u são de 0 a 1.

Passo 7

Aplicando os limites na antiderivada:
-cos u |0^1 = -cos 1 + cos 0
Sabemos que cos 0 = 1, então substituímos:
-cos 1 + 1

Resposta

A integral integral0^pi / 2 cos x sin(sin x) , dx é igual a 1 - cos 1.

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