Usando substituição, calcule as integrais abaixo: integrale^e^2 1x ln x dx.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Pra resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador u = ln x e o que está multiplicando, uma boa escolha é definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 1x em relação a du = 1x dx para substituir :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando essa substituição:
integrale^e^2 1x ln x , dx = integralu(e)^u(e^2) 1u , du
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando u = ln e = 1 :
u = ln e^2 = 2
E quando integral1^2 1u , du :
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral de integral 1u , du = ln |u| + C em relação a ln u |1^2 = ln 2 - ln 1 é:
Como estamos trabalhando com limites definidos, podemos aplicar os limites diretamente:

Passo 7

Sabemos que ln 2 - 0 = ln 2 , então:

Resposta

O valor da integral é .

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