Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral
usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções, e vamos precisar lembrar a fórmula básica:
Aqui, vamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 2
Vamos escolher
. Então, precisamos calcular
:
Em seguida, o restante da integral será
. Agora, precisamos encontrar
, o que envolve integrar
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos calcular:
No entanto, a integral de
não tem uma forma antiderivada simples em termos de funções elementares. Nesse caso, podemos usar uma substituição para simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos usar a substituição
. Então,
, ou seja,
.
Agora, reescrevemos a integral para encontrar
:
Mas, como
, temos
, então:
Essa integral ainda é complicada, mas podemos expressá-la em termos da função de Fresnel, que é uma função especial. No entanto, para fins de resolução usando integração por partes, vamos manter
na forma de uma integral indefinida.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Como
já envolve uma integral complicada, podemos concluir que a integral original não se resolve facilmente por partes e envolve funções especiais.
Resposta
A integral
não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares usando integração por partes. Ela pode ser expressa em termos de funções especiais, como a função de Fresnel.
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.
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