Usando integração por partes, calcule as integrais abaixo: integral x^3 cos x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções, e vamos precisar lembrar a fórmula básica:
Aqui, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Vamos escolher du = 3x^2 , dx . Então, precisamos calcular :
Em seguida, o restante da integral será . Agora, precisamos encontrar , o que envolve integrar .

Passo 3

Para encontrar v = integral cos x^2 , dx , precisamos calcular:
No entanto, a integral de não tem uma forma antiderivada simples em termos de funções elementares. Nesse caso, podemos usar uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos usar a substituição v = integral cos t cdot dt2x . Então, v = 12 integral cos traizt , dt , ou seja, .
Agora, reescrevemos a integral para encontrar :
Mas, como , temos , então:
Essa integral ainda é complicada, mas podemos expressá-la em termos da função de Fresnel, que é uma função especial. No entanto, para fins de resolução usando integração por partes, vamos manter na forma de uma integral indefinida.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 cos x^2 , dx = x^3 cdot v - integral v cdot 3x^2 , dx
Como já envolve uma integral complicada, podemos concluir que a integral original não se resolve facilmente por partes e envolve funções especiais.

Resposta

A integral não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares usando integração por partes. Ela pode ser expressa em termos de funções especiais, como a função de Fresnel.

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