Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando substituição trigonométrica. O enunciado é:
Vamos precisar usar trigonometria para simplificar essa integral, especialmente porque temos uma raiz quadrada com uma expressão do tipo . Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Por que 4? Porque , o que facilita a substituição na raiz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar , a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Os termos se cancelam:

Passo 7

Sabemos que a integral de é , então:

Passo 8

Agora, precisamos retornar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O cateto oposto a é .
  • A hipotenusa é 4.
  • O cateto adjacente é .
Então,

Resposta

Substituindo de volta, a integral resolvida fica:

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