Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando substituição trigonométrica. O enunciado é:
Vamos precisar usar trigonometria para simplificar essa integral, especialmente porque temos uma raiz quadrada com uma expressão do tipo
. Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva seno ou cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Por que 4? Porque
, o que facilita a substituição na raiz.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Os termos
se cancelam:
Passo 7
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 8
Agora, precisamos retornar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
- O cateto oposto a
é . - A hipotenusa é 4.
- O cateto adjacente é
.
Então,
Resposta
Substituindo
de volta, a integral resolvida fica:
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Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
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