Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: integral 1x^2 raiz16-x^2 d x

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando substituição trigonométrica. O enunciado é:
integral 1x^2 raiz16-x^2 , dx
Vamos precisar usar trigonometria para simplificar essa integral, especialmente porque temos uma raiz quadrada com uma expressão do tipo . Isso sugere que podemos usar uma substituição que envolva seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
x = 4 sin theta
Por que 4? Porque , o que facilita a substituição na raiz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 4 cos theta , dtheta , a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 1(4 sin theta)^2 raiz16 - (4 sin theta)^2 cdot 4 cos theta , dtheta e integral 116 sin^2 theta cdot raiz16 - 16 sin^2 theta cdot 4 cos theta , dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos simplificar a raiz quadrada:
raiz16 - 16 sin^2 theta = raiz16 (1 - sin^2 theta) = raiz16 cos^2 theta = 4 cos theta
Substituindo de volta na integral:
integral 116 sin^2 theta cdot 4 cos theta cdot 4 cos theta , dtheta

Passo 6

Os termos integral 116 sin^2 theta , dtheta = 116 integral csc^2 theta , dtheta se cancelam:

Passo 7

Sabemos que a integral de 116 integral csc^2 theta , dtheta = 116 (-cot theta) + C = -cot theta16 + C é , então:

Passo 8

Agora, precisamos retornar para a variável original cot theta = cos thetasin theta = raiz16 - x^2x . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • O cateto oposto a é .
  • A hipotenusa é 4.
  • O cateto adjacente é .
Então,

Resposta

Substituindo -raiz16 - x^216,x + C de volta, a integral resolvida fica:

Exercícios relacionados