Enuncie o Teorema dos Intervalos Encaixados;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para eu enunciar o Teorema dos Intervalos Encaixados. Esse teorema pertence à área de Análise Real, que estuda propriedades dos números reais e funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são intervalos encaixados e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre intervalos. Um intervalo em matemática é um conjunto de números reais que contém todos os números entre dois limites, por exemplo,
, onde
e
são os extremos do intervalo.
Agora, intervalos encaixados são uma sequência de intervalos onde cada intervalo está contido dentro do anterior. Ou seja, temos uma sequência
. Isso significa que cada intervalo seguinte é menor ou igual ao anterior e está completamente dentro dele.
Passo 3
O Teorema dos Intervalos Encaixados nos diz algo importante sobre essas sequências de intervalos. Ele afirma que, se tivermos uma sequência infinita de intervalos fechados e encaixados, e se o comprimento dos intervalos tende a zero, então existe exatamente um ponto que pertence a todos os intervalos da sequência.
Matematicamente, se temos
tal que
e
, então existe um único número real
que pertence a todos esses intervalos.
Passo 4
Vamos resumir a teoria por trás disso. Esse teorema é útil porque garante a existência de um ponto comum em uma sequência de intervalos cada vez menores. É especialmente importante em argumentos de convergência e em provar propriedades de funções e sequências em Análise Real.
Resposta
O Teorema dos Intervalos Encaixados afirma que, se uma sequência infinita de intervalos fechados e encaixados
satisfaz
e o comprimento dos intervalos tende a zero, ou seja,
, então existe exatamente um ponto
que pertence a todos os intervalos da sequência.