Enuncie o Teorema do Valor Médio e apresente uma de suas consequiências que foi útil em algum exercício desta prova.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente enunciar o Teorema do Valor Médio e mostrar uma das consequências dele que foi útil em algum exercício dessa prova. Então, estamos falando de cálculo, especificamente de derivadas e como elas se aplicam em certos teoremas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema do Valor Médio. Esse teorema é super importante no cálculo diferencial. Ele basicamente diz que se você tem uma função que é contínua num intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função nesse ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo. Em fórmulas, isso fica assim:
Ou seja, há um ponto onde a inclinação da tangente é igual à inclinação da reta que liga os dois extremos do intervalo.

Passo 3

Agora, uma consequência desse teorema que é muito útil é o Teorema de Rolle. Ele é na verdade um caso especial do Teorema do Valor Médio. O Teorema de Rolle afirma que se uma função é contínua em , diferenciável em e tem os mesmos valores nas extremidades, ou seja, , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada é zero:
Essa consequência é super útil em provas e exercícios porque nos ajuda a encontrar pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.

Resposta

O Teorema do Valor Médio afirma que, para uma função contínua em e diferenciável em , existe pelo menos um ponto em onde:
Uma de suas consequências é o Teorema de Rolle, que garante a existência de um ponto onde a derivada é zero, desde que . Essa consequência foi fundamental em exercícios para encontrar pontos críticos da função.

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