Escolha uma das duas questões abaixo:
Mostre que A = { y em R | y = x / (1 + x^2) } e -2 <= x <= 2 é um intervalo fechado, citando os dois teoremas imprescindíveis para a demonstração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos pediu para mostrar que o conjunto é um intervalo fechado. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas e a imagem fechada de intervalos fechados. Vamos utilizar dois teoremas importantes: o Teorema do Valor Extremo e o Teorema da Imagem Contínua de Intervalos Fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um intervalo fechado. Um intervalo fechado em inclui seus pontos extremos. Então, se conseguirmos mostrar que todo valor de gerado pela função quando varia entre -2 e 2 está entre dois valores específicos e inclui esses valores, teremos um intervalo fechado.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função racional, e queremos investigar seu comportamento no intervalo . Para isso, precisamos encontrar os valores máximos e mínimos que pode assumir nesse intervalo. Esse é o ponto onde entra o Teorema do Valor Extremo, que nos garante que uma função contínua em um intervalo fechado atinge seus valores máximos e mínimos nesse intervalo.

Passo 4

Antes de aplicarmos o Teorema do Valor Extremo, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . Funções racionais são contínuas em todo ponto onde o denominador não é zero. Aqui, nunca é zero para qualquer , então nossa função é contínua em todo o intervalo considerado.

Passo 5

Como a função é contínua no intervalo fechado , pelo Teorema do Valor Extremo, ela atinge seus valores máximo e mínimo nesse intervalo. Vamos encontrar esses extremos derivando a função e igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero:

Passo 7

Agora, avaliamos a função nos pontos críticos e , além dos extremos do intervalo e :

Passo 8

Observamos que o valor mínimo de é e o valor máximo é . Assim, o conjunto é o intervalo que vai de a , incluindo ambos os extremos.

Resposta

Portanto, é um intervalo fechado, conforme demonstrado utilizando o Teorema do Valor Extremo e o Teorema da Imagem Contínua de Intervalos Fechados.

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