Esboce o gráfico de duas das funções abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar.
f(x) = x^2 + e^x

Passo 1

Beleza! Vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo como domínio da função, derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade, e possíveis assíntotas. Basicamente, vamos analisar a forma geral da função e suas propriedades para desenhar um gráfico bem completinho.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função é a soma de um polinômio ( ) e uma função exponencial ( ). Ambas as funções estão definidas para todos os números reais, então o domínio de também é todos os números reais.
í

Passo 3

Agora, vamos procurar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de em relação a é:
Vamos analisar onde e :
  • Se , a função está crescente.
  • Se , a função está decrescente.
Como é sempre positivo ( para todo ), e pode variar, vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Essa equação não tem solução analítica fácil, então podemos analisar graficamente ou usar métodos numéricos. No entanto, para simplificação, sabemos que cresce mais rápido que , então a derivada é sempre positiva para . Portanto, a função é crescente em todo o seu domínio.

Passo 4

Como a função é crescente em todo o domínio, não existem intervalos de decrescimento.

Passo 5

Vamos procurar por pontos de máximo ou mínimo. Pontos de máximo ou mínimo ocorrem onde a primeira derivada é zero ou indefinida. Como nunca é zero (como discutimos no passo anterior), não há pontos de máximo ou mínimo locais para esta função.

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função e determinar os pontos de inflexão, se existirem. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de .
Como é sempre positivo, para todo . Isso significa que a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão.

Passo 7

Vamos verificar se existem assíntotas para a função.
  1. Assíntotas verticais: Essas ocorrem quando a função tende ao infinito quando se aproxima de algum valor. Para , não há valores de que fazem a função não estar definida, então não há assíntotas verticais.
  2. Assíntotas horizontais: Essas ocorrem se a função tende a um valor constante quando tende a ou .
    • Quando :
    • Quando :
      e , então
    Portanto, não há assíntotas horizontais.

Passo 8

Vamos calcular os limites importantes:
Isso confirma que a função cresce indefinidamente em ambas as direções.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função está definida para todos os .
  • É sempre crescente.
  • Não possui máximos ou mínimos locais.
  • É sempre côncava para cima.
  • Não possui assíntotas.
O gráfico será uma curva que cresce continuamente para ambos os lados, começando de aumentando para , com a concavidade voltada para cima.

Resposta

O gráfico de é uma curva sempre crescente, definida para todos os números reais, sem máximos ou mínimos locais. É côncava para cima em todo o domínio e não possui assíntotas verticais ou horizontais. A função cresce indefinidamente conforme aumenta ou diminui.

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