Enuncie o teste da integral para séries e prove que a série
diverge para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer entender por que a série
diverge quando
. Para isso, vamos usar o Teste da Integral para Séries, que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Teste da Integral. Esse teste diz que se você tem uma série da forma
onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série e a integral
comportam-se da mesma forma: ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 3
No nosso caso, a função é
Essa função é positiva, contínua e decrescente para
, então podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, lembramos que:
- Se
, a integral de é
- Se
, a integral de é .
Passo 5
Vamos analisar os casos:
- Quando
:
A integral fica:
Como
,
e
tende a infinito quando
vai para infinito. Então, a integral diverge.
- Quando
:
A integral fica:
Então, a integral também diverge.
Resposta
Portanto, pelo Teste da Integral, a série
diverge para todo
.