Enuncie o teste da integral para séries e prove que a série
sumn=1^infty 1n^p
diverge para p <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer entender por que a série
sumn=1^infty 1n^p
diverge quando . Para isso, vamos usar o Teste da Integral para Séries, que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge comparando-a com uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o Teste da Integral. Esse teste diz que se você tem uma série da forma
sumn=1^infty f(n)
onde integral1^infty f(x) , dx é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série e a integral
comportam-se da mesma forma: ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 3

No nosso caso, a função é
f(n) = 1n^p
Essa função é positiva, contínua e decrescente para , então podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral correspondente:
integral1^infty 1x^p , dx
Para resolver essa integral, lembramos que:
  • Se x^-p + 1-p + 1 + C , a integral de é
  • Se , a integral de é .

Passo 5

Vamos analisar os casos:
  1. Quando integral1^infty 1x^p , dx = limb to infty [ x^-p + 1-p + 1 ]1^b = limb to infty ( b^1-p1 - p - 11 - p ) :
A integral fica:
integral1^infty 1x , dx = limb to infty ln(b) - ln(1) = limb to infty ln(b) = infty
Como , e tende a infinito quando vai para infinito. Então, a integral diverge.
  1. Quando :
A integral fica:
Então, a integral também diverge.

Resposta

Portanto, pelo Teste da Integral, a série
sumn=1^infty 1n^p
diverge para todo .

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