Prove, usando a definição, que
lim x 2(12 x-3)=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a -2. Vamos usar a definição de limite, que basicamente diz que a função pode chegar tão perto quanto quisermos do valor do limite, contanto que a gente escolha um pequeno o suficiente para cada que a gente escolher.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que a definição de limite nos pede. Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
| 12x - 3 + 2 | = | 12x - 1 |
Queremos que isso seja menor que | 12x - 1 | < epsilon , ou seja:

Passo 4

Vamos isolar | 12x - 1 | = 12 |x - 2| na expressão:
12 |x - 2| < epsilon implies |x - 2| < 2epsilon
Então, para que isso seja menor que , precisamos que:

Passo 5

Então, se a gente escolher , sempre que , vai valer que . Isso confirma que o limite é de fato -2 conforme a definição.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que
lim x 2(12 x-3)=-2

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