Transforme cada equação cartesiana em polar:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação cartesiana e precisamos transformar isso para coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de sistemas de coordenadas, onde a gente passa de uma forma de representar pontos (cartesiana) para outra (polar). Para resolver, vamos precisar lembrar das relações básicas entre coordenadas cartesianas e polares , que são:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na equação original pelos termos em coordenadas polares. Então, temos:
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado para simplificar a expressão:
Somando tudo:

Passo 4

Vamos juntar os termos semelhantes. Note que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica :
Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para . Ela é uma equação quadrática em , então podemos reorganizar:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver para :
Simplificando a raiz:
Para que a raiz seja real, precisamos que . Isso nos dá as condições para .

Resposta

A equação cartesiana transformada para coordenadas polares é:

Exercícios relacionados

  • ( 0,5 pts) Pode-se mostrar que os coeficientes da parábola são determinados pelos limites abaixos. Calcule-os:
Suponha que você efetue a divisão entre polinômios do numerador e numerador :
onde é o resto, é o quociente, o divisor e o dividendo. Então podemos escrever
respectivamente, em que e são as taxas de crescimento das duas populações, e e são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie devido à presença da espécie é substituir o fator de crescimento na Eq. (1a) por , em que é uma medida do grau de interferência da espécie sobre a espécie . Analogamente, substituímos na Eq. (1b) por . Obtemos, assim, o sistema de equações
Os valores das constantes positivas e dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais e não são negativos.
A função
é positiva definida se, e somente se,
e é negativa definida se, e somente se,