• ( 0,5 pts) Pode-se mostrar que os coeficientes da parábola são determinados pelos limites abaixos. Calcule-os:
Suponha que você efetue a divisão entre polinômios do numerador e numerador :
onde é o resto, é o quociente, o divisor e o dividendo. Então podemos escrever

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos determinar os coeficientes , e da parábola que representa essa função. Para isso, vamos usar limites que nos ajudam a identificar como a função se comporta quando vai para o infinito. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como eles podem determinar os coeficientes de uma função polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente . A fórmula dada é:
Isso significa que estamos vendo como se comporta em relação a quando fica muito grande. Se o limite existe e é finito, será o coeficiente do termo na função .

Passo 3

Agora, vamos para o coeficiente . A fórmula é:
Aqui, subtraímos de para eliminar o termo quadrático que já identificamos. Em seguida, dividimos o resultado por para ver como o termo linear se comporta quando cresce. Esse limite nos dará o coeficiente do termo .

Passo 4

Finalmente, vamos determinar o coeficiente . A fórmula é:
Neste passo, subtraímos tanto quanto de . O que resta é o termo constante , e como estamos tomando o limite quando vai para o infinito, quaisquer outros termos que dependam de desaparecem, deixando apenas .

Resposta

Portanto, os coeficientes da parábola são:

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( ) Mostre que essa função não tem uma assíntota oblíqua.
Na verdade, essa função tem uma assíntota parabólica na forma . A seguir, vamos encontrá-la de três formas diferentes.
Transforme cada equação cartesiana em polar:
(b)
respectivamente, em que e são as taxas de crescimento das duas populações, e e são seus níveis de saturação. No entanto, quando ambas as espécies estão presentes, cada uma vai afetar o suprimento de comida disponível para a outra. De fato, elas reduzem as taxas de crescimento e os níveis de saturação uma da outra. A expressão mais simples para reduzir a taxa de crescimento da espécie devido à presença da espécie é substituir o fator de crescimento na Eq. (1a) por , em que é uma medida do grau de interferência da espécie sobre a espécie . Analogamente, substituímos na Eq. (1b) por . Obtemos, assim, o sistema de equações
Os valores das constantes positivas e dependem das espécies particulares em consideração e têm que ser determinados, em geral, através de observações. Estamos interessados nas soluções das Eqs. (2) para as quais e não são negativos.