A equação x^2+2 y^2+z^2-4 x y+6 x z+8 y z=12 representa uma superfície quadrática. Determine se ela pode ser rotacionada para eliminar os termos cruzados. ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação quadrática:
x^2 + 2 y^2 + z^2 - 4 x y + 6 x z + 8 y z = 12
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa superfície quadrática pode ser girada de forma que os termos cruzados (aqueles que têm multiplicação entre variáveis, tipo , , ) desapareçam. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas e diagonalização, que é basicamente transformar a matriz associada à equação em uma forma onde só estejam os termos quadráticos, sem os cruzados.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a equação quadrática usando uma matriz simétrica. Cada termo quadrático e cruzado corresponde a um elemento na matriz. A equação dada pode ser escrita na forma matricial:
x^T A x = 12
onde x y z e A = 1 & -2 & 3 -2 & 2 & 4 3 & 4 & 1 é a matriz:
Aqui, os termos cruzados ( , , ) aparecem como elementos fora da diagonal principal, e como a matriz é simétrica, os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais.

Passo 3

Agora, para eliminar os termos cruzados, precisamos diagonalizar essa matriz P^T A P = D . Diagonalizar significa encontrar uma matriz de rotação tal que:
onde é uma matriz diagonal (apenas termos na diagonal principal). Isso só é possível se for simétrica e possuir autovalores reais, o que é o caso aqui.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Isso é feito resolvendo a equação característica:
1-lambda & -2 & 3 -2 & 2-lambda & 4 3 & 4 & 1-lambda = 0
Calculando o determinante:
Depois de calcular, encontramos os valores de que satisfazem essa equação. Vamos supor que encontramos três autovalores distintos (o cálculo completo aqui é longo, mas ele conduz a três valores reais diferentes).

Passo 5

Com os autovalores encontrados, podemos determinar os autovetores correspondentes a cada um. Esses autovetores vão formar as colunas da matriz de rotação . Como a matriz é simétrica, seus autovetores são ortogonais e podemos normalizá-los para que a matriz seja ortogonal ( ).

Passo 6

Aplicando a rotação, substituímos (P x')^T A (P x') = 12 por x'^T D x' = 12 na equação original:
Isso simplifica para:
Agora, a equação está na forma diagonal, ou seja, sem termos cruzados.

Resposta

Sim, a superfície quadrática pode ser rotacionada para eliminar os termos cruzados.

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