A equação representa uma superfície quadrática. Determine se ela pode ser rotacionada para eliminar os termos cruzados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação quadrática:
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa superfície quadrática pode ser girada de forma que os termos cruzados (aqueles que têm multiplicação entre variáveis, tipo , , ) desapareçam. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas e diagonalização, que é basicamente transformar a matriz associada à equação em uma forma onde só estejam os termos quadráticos, sem os cruzados.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a equação quadrática usando uma matriz simétrica. Cada termo quadrático e cruzado corresponde a um elemento na matriz. A equação dada pode ser escrita na forma matricial:
onde e A = 1 & -2 & 3 -2 & 2 & 4 3 & 4 & 1 é a matriz:
Aqui, os termos cruzados (, , ) aparecem como elementos fora da diagonal principal, e como a matriz é simétrica, os elementos acima e abaixo da diagonal são iguais.
Passo 3
Agora, para eliminar os termos cruzados, precisamos diagonalizar essa matriz P^T A P = D . Diagonalizar significa encontrar uma matriz de rotação tal que:
onde é uma matriz diagonal (apenas termos na diagonal principal). Isso só é possível se for simétrica e possuir autovalores reais, o que é o caso aqui.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Isso é feito resolvendo a equação característica:
Depois de calcular, encontramos os valores de que satisfazem essa equação. Vamos supor que encontramos três autovalores distintos (o cálculo completo aqui é longo, mas ele conduz a três valores reais diferentes).
Passo 5
Com os autovalores encontrados, podemos determinar os autovetores correspondentes a cada um. Esses autovetores vão formar as colunas da matriz de rotação . Como a matriz é simétrica, seus autovetores são ortogonais e podemos normalizá-los para que a matriz seja ortogonal ().
Passo 6
Aplicando a rotação, substituímos (P x')^T A (P x') = 12 por x'^T D x' = 12 na equação original:
Isso simplifica para:
Agora, a equação está na forma diagonal, ou seja, sem termos cruzados.
Resposta
Sim, a superfície quadrática pode ser rotacionada para eliminar os termos cruzados.