De modo geral, a operação de multiplicação de matrizes é não comutativa.
(a) Dada a matriz A=(ll1 & 2 2 & 1). Determine uma matriz B neq O2 e B neq I2 tal que A B=B A. É possível determinar a quantidade de matrizes B que satisfazem esta propriedade? Caso positivo, quantas são elas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma matriz diferente da matriz nula e da matriz identidade que comute com a matriz , ou seja, que satisfaça . Além disso, queremos saber se é possível determinar quantas matrizes existem com essa propriedade.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com a multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade. Lembrando que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, . Mas existem casos especiais onde isso pode acontecer.
O que vamos precisar: Vamos trabalhar com matrizes e resolver a equação para encontrar as matrizes que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a matriz B = a & b c & d de forma geral. Como é uma matriz , podemos escrevê-la assim:
onde são números reais que queremos determinar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as matrizes A = 1 & 2 2 & 1 e AB = 1 & 2 2 & 1 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 2 cdot a + 1 cdot c & 2 cdot b + 1 cdot d = a + 2c & b + 2d 2a + c & 2b + d nas duas ordens, ou seja, calcular BA = a & b c & d 1 & 2 2 & 1 = a cdot 1 + b cdot 2 & a cdot 2 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 2 & c cdot 2 + d cdot 1 = a + 2b & 2a + b c + 2d & 2c + d e .
Sabemos que:
Então,
E,

Passo 4

Para que a + 2c = a + 2b b + 2d = 2a + b 2a + c = c + 2d 2b + d = 2c + d , as matrizes resultantes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos simplificar essas equações:
  1. ⟹ Substituindo , temos , que é sempre verdadeira.
  2. ⟹ Substituindo , temos , que também é sempre verdadeira.

Passo 5

Das equações acima, vemos que temos duas condições principais:
c = b e d = a
Isso significa que a matriz B = a & b b & a que comuta com deve ter a forma:
onde e são números reais quaisquer.

Passo 6

Agora, queremos que (matriz nula) e (matriz identidade). Vamos entender o que isso implica:
  • Matriz nula : É quando todos os elementos de são zero. Ou seja, e .
  • Matriz identidade : É quando e .
Portanto, para e , devemos ter que pelo menos um dos elementos ou seja diferente de zero, ou .

Passo 7

A forma geral de B = a & b b & a é:
Onde e são reais quaisquer, exceto:
  • e (matriz nula)
  • e (matriz identidade)
Isso significa que há infinitas matrizes que satisfazem , pois podemos escolher qualquer valor real para e , exceto nos casos excluídos.

Passo 8

Conclusão: Existe uma infinidade de matrizes B = a & b b & a que comutam com , já que podemos escolher qualquer valor para e na matriz:
desde que não seja a matriz nula ou a matriz identidade. Portanto, não é possível determinar uma quantidade finita de tais matrizes .

Resposta

Existe uma infinidade de matrizes a & b b & a e que comutam com , pois qualquer matriz da forma satisfaz , onde e são números reais quaisquer. Portanto, não há um número finito de matrizes que atendem a essa condição.

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