De modo geral, a operação de multiplicação de matrizes é não comutativa.
(a) Dada a matriz . Determine uma matriz e tal que . É possível determinar a quantidade de matrizes que satisfazem esta propriedade? Caso positivo, quantas são elas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma matriz diferente da matriz nula e da matriz identidade que comute com a matriz , ou seja, que satisfaça . Além disso, queremos saber se é possível determinar quantas matrizes existem com essa propriedade.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com a multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade. Lembrando que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, . Mas existem casos especiais onde isso pode acontecer.
O que vamos precisar: Vamos trabalhar com matrizes e resolver a equação para encontrar as matrizes que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a matriz de forma geral. Como é uma matriz , podemos escrevê-la assim:
onde são números reais que queremos determinar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as matrizes e nas duas ordens, ou seja, calcular e .
Sabemos que:
Então,
E,
Passo 4
Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos simplificar essas equações:
⟹ ⟹
⟹ ⟹
⟹ Substituindo , temos , que é sempre verdadeira.
⟹ Substituindo , temos , que também é sempre verdadeira.
Passo 5
Das equações acima, vemos que temos duas condições principais:
c = b e d = a
Isso significa que a matriz B = a & b b & a que comuta com deve ter a forma:
onde e são números reais quaisquer.
Passo 6
Agora, queremos que (matriz nula) e (matriz identidade). Vamos entender o que isso implica:
Matriz nula : É quando todos os elementos de são zero. Ou seja, e .
Matriz identidade : É quando e .
Portanto, para e , devemos ter que pelo menos um dos elementos ou seja diferente de zero, ou .
Passo 7
A forma geral de B = a & b b & a é:
Onde e são reais quaisquer, exceto:
e (matriz nula)
e (matriz identidade)
Isso significa que há infinitas matrizes que satisfazem , pois podemos escolher qualquer valor real para e , exceto nos casos excluídos.
Passo 8
Conclusão: Existe uma infinidade de matrizes B = a & b b & a que comutam com , já que podemos escolher qualquer valor para e na matriz:
desde que não seja a matriz nula ou a matriz identidade. Portanto, não é possível determinar uma quantidade finita de tais matrizes .
Resposta
Existe uma infinidade de matrizes a & b b & a e que comutam com , pois qualquer matriz da forma satisfaz , onde e são números reais quaisquer. Portanto, não há um número finito de matrizes que atendem a essa condição.