Obter a nova equação da reta
quando se efetua uma rotação de eixos de amplitude
, no sentido anti-horario, sabendo-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da reta
e precisa descobrir como ela fica depois de girar os eixos em um ângulo
no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de rotação de coordenadas e trigonometria. Sabemos que
, então vamos precisar encontrar também o
para continuar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que
. Já que
, temos:
Então,
Passo 3
Agora, vamos lembrar como fica a equação da reta após a rotação dos eixos. A fórmula geral para rotacionar os eixos em um ângulo
é substituir
e
por:
Aqui,
e
são as novas coordenadas após a rotação.
Passo 4
Vamos substituir essas expressões na equação original da reta:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos distribuir os termos:
Vamos agrupar os termos que têm
e os que têm
:
Passo 6
Substituindo os valores de
e
:
Calculando:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Resposta
Após a rotação dos eixos, a nova equação da reta é
.