Obter a nova equação da reta 3 x-4 y+10=0 quando se efetua uma rotação de eixos de amplitude theta, no sentido anti-horario, sabendo-se que sen theta=35.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da reta e precisa descobrir como ela fica depois de girar os eixos em um ângulo no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de rotação de coordenadas e trigonometria. Sabemos que , então vamos precisar encontrar também o para continuar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de cos^2 theta = 1 - sin^2 theta = 1 - (35)^2 = 1 - 925 = 1625 . Sabemos que cos theta = 45 . Já que , temos:
Então,

Passo 3

Agora, vamos lembrar como fica a equação da reta após a rotação dos eixos. A fórmula geral para rotacionar os eixos em um ângulo x = x' cos theta - y' sin theta é substituir y = x' sin theta + y' cos theta e por:
Aqui, e são as novas coordenadas após a rotação.

Passo 4

Vamos substituir essas expressões na equação original da reta:
3x - 4y + 10 = 0
Substituindo 3(x' cos theta - y' sin theta) - 4(x' sin theta + y' cos theta) + 10 = 0 e :

Passo 5

Agora, vamos distribuir os termos:
3x' cos theta - 3y' sin theta - 4x' sin theta - 4y' cos theta + 10 = 0
Vamos agrupar os termos que têm (3 cos theta - 4 sin theta)x' + (-3 sin theta - 4 cos theta)y' + 10 = 0 e os que têm :

Passo 6

Substituindo os valores de (3 cdot 45 - 4 cdot 35)x' + (-3 cdot 35 - 4 cdot 45)y' + 10 = 0 e (125 - 125)x' + (-95 - 165)y' + 10 = 0 :
0 cdot x' - 255y' + 10 = 0
Calculando:
-5y' + 10 = 0
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos isolar -5y' = -10 :
y' = 2

Resposta

Após a rotação dos eixos, a nova equação da reta é .

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